📈 Soziale Mobilität — Markov-Ketten-Einkommensquintile

Solange jeder Zustand letztlich jeden anderen Zustand erreichen kann (die Kette ist irreduzibel) und es keine strikten Zyklen gibt, die eine Rückkehr zu beliebigen Zeitpunkten verhindern (sie ist aperiodisch), garantiert das Perron-Frobenius-Theorem eine eindeutige stationäre Verteilung, und wiederholte Anwendung der Übergangsmatrix von jedem Startpunkt aus konvergiert dazu. In dieser Simulation sind, weil jedes Quintil eine positive Wahrscheinlichkeit hat, in jedes andere Quintil überzugehen, beide Bedingungen automatisch erfüllt, sodass sich das Bevölkerungshistogramm unabhängig von der anfänglichen Zufallszuweisung immer auf dieselbe Gleichgewichtsform einpendelt.

Für einen Haushalt, der sich aktuell im Quintil 1 befindet, ist die Anzahl der Generationen bis zum ersten Übergang in ein anderes Quintil eine geometrisch verteilte Zufallsvariable mit Erfolgswahrscheinlichkeit gleich 1 minus dem Diagonaleintrag P[1][1] (der Wahrscheinlichkeit, im Quintil 1 zu bleiben). Der Erwartungswert einer geometrischen Verteilung ist eins geteilt durch ihre Erfolgswahrscheinlichkeit, sodass die erwartete Entkommenszeit 1 / (1 − P[1][1]) beträgt. Dieser Wert steigt stark an, wenn sich die Trägheit 1 nähert, was veranschaulicht, wie kleine Zunahmen der Beständigkeit die Anzahl an Generationen, die eine Familie voraussichtlich in Armut verbringt, drastisch verlängern können.

Empirische Mobilitätsforscher konstruieren Übergangsmatrizen aus longitudinalen Steuer- und Umfragedaten, die Einkommensränge von Eltern und Kindern verknüpfen, am bekanntesten im "Opportunity Insights"-Projekt unter der Leitung von Raj Chetty und Mitarbeitern, das Mobilität nach US-Bezirk anhand Millionen anonymisierter Steuerunterlagen verfolgt. Internationale Vergleiche dieser Matrizen liegen der "Great-Gatsby-Kurve" zugrunde, die zeigt, dass Länder mit höherer Einkommensungleichheit tendenziell auch trägere, weniger mobile Übergangsmatrizen aufweisen, was bedeutet, dass Einkommen über Generationen hinweg stärker fortbesteht.

Absolute Mobilität fragt, ob Kinder real mehr verdienen als ihre Eltern, was größtenteils durch das allgemeine Wirtschaftswachstum angetrieben wird. Relative Mobilität, auf die sich diese Simulation konzentriert, fragt, ob sich der Rang eines Kindes innerhalb der Einkommensverteilung von dem der Eltern unterscheidet, unabhängig vom Wachstum. Eine Gesellschaft kann hohe absolute Mobilität haben (alle werden reicher) und dennoch niedrige relative Mobilität aufweisen (die Rangordnung ändert sich kaum), weshalb Ökonomen bei der Bewertung von Chancengerechtigkeit beide Maße getrennt verfolgen.

Nicht notwendigerweise für sich genommen, aber hohe Beständigkeit wird im Allgemeinen als Beleg dafür interpretiert, dass Faktoren außerhalb der Kontrolle einer Person — geerbtes Vermögen, Nachbarschaftseffekte, ungleicher Bildungszugang — eine übermäßig große Rolle bei der Bestimmung von Lebensergebnissen spielen. Eine perfekt mobile Gesellschaft (Trägheit nahe null) würde bedeuten, dass Ergebnisse im Wesentlichen unabhängig vom familiären Hintergrund zufällig sind, was ebenfalls nicht offensichtlich "fair" ist. Die meisten Ökonomen behandeln Mobilität daher nicht als von Natur aus gut oder schlecht, sondern als einen Faktor neben absolutem Lebensstandard und Ungleichheitsniveaus in einer breiteren Bewertung wirtschaftlicher Chancen.

Die Annahme, dass Übergänge nur vom aktuellen Quintil abhängen, ignoriert viele reale Merkmale: Mobilitätsraten unterscheiden sich nach Ausgangsvermögen, Geografie, Herkunft und Familienstruktur, Übergangswahrscheinlichkeiten bleiben über lange historische Zeiträume wahrscheinlich nicht konstant, und die Behandlung von Einkommen als fünf diskrete Klassen verliert Information gegenüber kontinuierlichen Einkommensdaten. Reale Mobilitätsforschung verwendet zunehmend kontinuierliche Einkommensrangkorrelationen und maschinelle Lernmodelle mit Dutzenden von Kovariaten, aber die diskrete Markov-Kette bleibt eine wertvolle, leicht interpretierbare erste Näherung.