🔺 Sierpiński-Dreieck — Chaosspiel

Im Chaosspiel-Modus legt der Punkte-Regler fest, wie viele zufällige Punkte gezeichnet werden, von 20.000 bis 400.000 — mehr Punkte ergeben eine schärfere, dichtere Wolke. In den Modi Tetraeder und Teppich steuert der Regler für die Rekursionsstufe (1 bis 5), wie oft die Form unterteilt wird, wodurch die Anzahl der gezeichneten Unterzellen exponentiell zunimmt.

Die fraktale Dimension folgt D = log(N) / log(s), wobei N die Anzahl der selbstähnlichen Kopien und s der Skalierungsfaktor ist. Das flache Dreieck ergibt log 3 / log 2 ≈ 1,585. Das Sierpiński-Tetraeder nutzt vier um den Faktor zwei skalierte Kopien, was log 4 / log 2 = 2 ergibt, und der Teppich nutzt log 20 / log 3 ≈ 2,727.

Das Sierpiński-Tetraeder wird aus vier Kopien aufgebaut, jeweils um den Faktor ein Halb skaliert, sodass seine Dimension log 4 / log 2 = 2 ist. Bemerkenswerterweise entspricht dies der Dimension einer flachen Ebene, obwohl das Objekt hohl ist und im 3D-Raum existiert — deshalb wirken seine Oberflächen so, als würden sie Fläche füllen, trotz der Lücken.

Die Konstruktionsregeln sind exakt: Das Chaosspiel verwendet echte Halbwegs-Interpolation zu zufällig gewählten Eckpunkten, und die rekursiven Modi unterteilen mit den korrekten selbstähnlichen Abbildungen. Die angezeigten Dimensionen entsprechen den theoretischen Werten. Nur die Auflösung ist endlich, da echte Fraktale bis ins Unendliche fortgesetzt werden, während Bildschirm und Punktbudget begrenzt sind.

Das Chaosspiel rendert eine stochastische Punktwolke, die den Attraktor annähert. Der Tetraeder-Modus zeichnet solide, instanziierte Tetraeder, die durch deterministische Rekursion platziert werden. Der 3D-Teppich wendet die Menger-Schwamm-Regel auf ein Würfelgitter an und entfernt bei jeder Unterteilung die zentralen Zellen, um ein poröses Gitter kleiner Würfel zu hinterlassen.

„Nach Eckpunkt“ färbt jedes Element mit der Farbe der zugehörigen Ecke ein und hebt so die vier Unterstrukturen hervor. „Nach Höhe“ bildet die vertikale Position auf einen Farbtonverlauf ab, sodass die Form wie eine Heatmap wirkt. „Monochrom“ malt alles in einem einzigen Blauton und betont so die Form gegenüber der Farbe.

Selbstähnliche Strukturen erscheinen in verzweigten Lungen und Blutgefäßen, Flussnetzwerken, Schneeflocken und Küstenlinien. Ingenieure nutzen Sierpiński-Muster, um kompakte Multiband-Fraktalantennen zu entwerfen, während Menger-artige Geometrien poröse Materialien, Wärmetauscher und Metamaterialien beeinflussen, bei denen eine hohe Oberfläche in kleinem Volumen wertvoll ist.