🔺 Sierpiński-Tetraeder — 3D-Fraktal

Auf jeder Rekursionsstufe wird jedes solide Tetraeder durch 4 kleinere Kopien seiner selbst (im halben Maßstab) ersetzt, die an seinen Ecken platziert werden, wobei das zentrale Tetraeder dazwischen entfernt wird — dies wird bis zur gewählten Rekursionstiefe wiederholt, sodass Tiefe 6 diesen Ersetzungsschritt sechsmal durchlaufen hat.

Ausgehend von einem beliebigen Punkt führt wiederholtes Springen auf halbem Weg zu einer zufällig gewählten der vier Basisecken dazu, dass Punkte über viele Iterationen hinweg statistisch die „verbotenen" zentralen Bereiche meiden, sodass die angesammelten Punkte die fraktale Struktur rein durch Wahrscheinlichkeit nachzeichnen, ganz ohne explizite Unterteilungsregel.

Jeder Rekursionsschritt entfernt Volumen aus dem Inneren (das zentrale Tetraeder auf jeder Skala), sodass mit zunehmender Tiefe der Anteil des verbleibenden Volumens des ursprünglichen soliden Tetraeders gegen null schrumpft, obwohl die äußere Silhouette etwa gleich groß bleibt.

Die fraktale Dimension misst, wie sich Details mit der Vergrößerung skalieren: Ein gewöhnlicher Körper hat Dimension 3, aber diese Struktur wird aus 4 Kopien im halben Maßstab aufgebaut, was die Dimension log(4)/log(2)=2 ergibt — sie füllt den Raum eher wie ein gefaltetes 2D-Blatt als wie ein echter 3D-Körper, obwohl sie visuell 3D-Raum einnimmt.

Das Einfärben der Unter-Tetraeder nach ihrer Rekursionsstufe trennt jede Generation des Unterteilungsprozesses visuell voneinander, wodurch viel leichter zu erkennen ist, wie jedes große Stück aus kleineren identischen Kopien aufgebaut ist — die Kernidee der Selbstähnlichkeit, die jedes Fraktal definiert.