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🟪 Sierpiński-Teppich

Entdecke den Sierpiński-Teppich, ein rekursives Fraktal, das entsteht, indem ein Quadrat in ein 3×3-Raster geteilt und das mittlere Quadrat auf jeder Stufe entfernt wird. Passe die Iterationstiefe an, kehre die Löcher um und beobachte die animierte Unterteilung.

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Über diese Simulation

Der Sierpiński-Teppich entsteht, indem man ein Quadrat in ein 3×3-Raster aus neun gleichen Teilquadraten teilt, das mittlere Teilquadrat entfernt und diesen Teil-und-Entferne-Schritt dann in jedem der acht verbleibenden Quadrate wiederholt. Jede weitere Stufe vervielfacht die Anzahl der gefüllten Quadrate um den Faktor acht, während die insgesamt gefüllte Fläche um den Faktor 8/9 schrumpft — es entsteht ein komplexes Lochgitter, ein grundlegendes Beispiel für ein selbstähnliches Fraktal.

🔬 Was es zeigt

Ein Quadrat wird auf jeder Stufe rekursiv in ein 3×3-Raster mit entferntem Mittelstück unterteilt, bis zur gewählten Iterationstiefe n. Die Simulation rekursiert tatsächlich durch die Geometrie — bei Tiefe n gibt es genau 8ⁿ gefüllte Teilquadrate, die einen Anteil (8/9)ⁿ der ursprünglichen Fläche bedecken, beide live berechnet und in der Statistikbox angezeigt.

🎮 Anwendung

Ziehe den Iterationsregler von 0 bis 6, um die Rekursionstiefe zu ändern, wähle eine Füllfarbe und schalte „Umkehren" ein, um statt der verbleibenden Struktur die entfernten Mittellöcher anzuzeigen. Schalte „Animieren" ein, um die Unterteilung Stufe für Stufe zu beobachten, oder aus, um das endgültige Muster sofort zu zeichnen; „Wiederholen" startet die Animation neu und „Zurücksetzen" stellt die Standardwerte wieder her.

💡 Wusstest du schon?

Der Sierpiński-Teppich hat eine fraktale Dimension von log(8)/log(3) ≈ 1,893 — mehr als eine Linie, aber weniger als eine ausgefüllte Ebene. Er ist zudem eine „universelle" ebene Kurve: Mathematiker haben gezeigt, dass jede mögliche, sich selbst nicht kreuzende Kurve in der Ebene irgendwo in der Struktur des Teppichs zu finden ist.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Sierpiński-Teppich?

Der Sierpiński-Teppich ist ein ebenes Fraktal, das entsteht, indem ein Quadrat in ein 3×3-Raster aus neun gleichen Teilquadraten geteilt, das mittlere entfernt und derselbe Vorgang unendlich oft in jedem der acht verbleibenden Quadrate wiederholt wird. Er wurde erstmals 1916 vom polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński beschrieben.

Wie unterscheidet sich der Sierpiński-Teppich vom Sierpiński-Dreieck?

Das Sierpiński-Dreieck entfernt das mittlere Dreieck aus einem in vier Teile geteilten Dreieck, während der Sierpiński-Teppich das mittlere Quadrat aus einem in ein 3×3-Raster mit neun Teilen geteilten Quadrat entfernt. Beide sind klassische selbstähnliche Fraktale, die durch wiederholtes Entfernen eines zentralen Stücks entstehen, doch der Teppich basiert auf Quadraten und einer 3×3-Unterteilung statt auf Dreiecken und einer Zweiteilung.

Wie viele Quadrate bleiben nach n Iterationen übrig?

Nach n Iterationen gibt es genau 8ⁿ gefüllte Teilquadrate, da jeder Unterteilungsschritt 8 der 9 Quadrate im Raster behält und dies unabhängig in jedem Quadrat geschieht, das die vorherige Stufe überstanden hat. Bei Tiefe 3 zum Beispiel gibt es 8³ = 512 Quadrate.

Welcher Flächenanteil bleibt mit zunehmender Iteration erhalten?

Jede Stufe behält 8/9 der zuvor vorhandenen Fläche, sodass nach n Iterationen die verbleibende Fläche (8/9)ⁿ der ursprünglichen Quadratfläche beträgt. Dieser Anteil schrumpft mit wachsendem n gegen null, obwohl die Anzahl der einzelnen Quadrate unbegrenzt wächst — genau dieses Paradox macht die fraktale Dimension zu einem nützlichen Konzept.

Wie hoch ist die fraktale Dimension des Sierpiński-Teppichs?

Seine Hausdorff-Dimension beträgt log(8)/log(3), also etwa 1,8928. Dieser Wert liegt zwischen der Dimension einer einfachen Kurve (1) und einer ausgefüllten zweidimensionalen Ebene (2) und spiegelt wider, wie der Teppich den Raum gründlicher ausfüllt als eine Linie, aber unendlich viele Löcher hinterlässt, sodass er nie eine vollständige Ebene ausfüllt.

⚙ Unter der Haube

Unterteile ein Quadrat rekursiv in ein 3×3-Raster, entferne bei jeder Stufe das mittlere Quadrat, um das Sierpiński-Teppich-Fraktal mit Live-Statistiken zu Fläche und Anzahl aufzubauen.

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