🎲 Bell'sche Ungleichung

Zwei Teilchen sind verschränkt, wenn ihr Quantenzustand nicht als Produkt einzelner Zustände geschrieben werden kann — die Messung eines Teilchens bestimmt sofort die Ergebnisstatistik für das andere, unabhängig von der Entfernung zwischen ihnen. Für ein Spin-Singulett-Paar (|↑↓⟩ – |↓↑⟩)/√2 gilt: Misst Alice Spin-auf entlang einer Achse, ist Bobs Teilchen garantiert Spin-ab entlang derselben Achse. Diese Korrelation ist stärker als alles, was durch vorab vereinbarte (verborgene-Variablen-)Strategien erreichbar ist, wie Bells Theorem beweist.

Die CHSH-Ungleichung lautet S = E(a,b) – E(a,b') + E(a',b) + E(a',b'), wobei jedes E die Korrelation zwischen Alices und Bobs Messergebnissen (je ±1) für ein gegebenes Winkelpaar ist. Jede lokale Theorie mit verborgenen Variablen muss |S| ≤ 2 erfüllen. Die Quantenmechanik mit dem Singulett-Zustand ergibt E(a,b) = –cos(a – b), und bei den optimalen Bell-Winkeln (0°, 45°, 22,5°, 67,5°) ergibt sich S = 2√2 ≈ 2,828 — eine klare Verletzung.

Nein. Obwohl die Messergebnisse auf eine Weise korreliert sind, die durch geteilte klassische Information nicht erklärbar ist, können Alice und Bob Verschränkung nicht nutzen, um eine Nachricht schneller als Licht zu senden. Jedes lokale Ergebnis bleibt zufällig (50/50 für jede einzelne Messung), sodass Bob kein Signal aus seinen eigenen Ergebnissen allein extrahieren kann — er kann die Korrelationen nur erkennen, indem er sich mit Alice über einen konventionellen (langsameren als Licht) Kanal austauscht.

Ein Modell mit lokalen verborgenen Variablen (LHV) nimmt an, dass jedes Teilchen einen verborgenen inneren Zustand (die „Variable“) trägt, der im Moment der Paarerzeugung festgelegt wird, und dass dieser Zustand das Ergebnis jeder Messung deterministisch bestimmt. „Lokal“ bedeutet, dass Alices Ergebnis nicht von Bobs Messeinstellung abhängen kann, und umgekehrt. Bell bewies, dass jedes solche Modell |S| ≤ 2 erfüllen muss, während die Quantenmechanik S bis zu 2√2 vorhersagt.

Die Quantenkorrelation für den Singulett-Zustand ist E(a,b) = –cos(a – b). Die Maximierung von S = E(a,b) – E(a,b') + E(a',b) + E(a',b') erfordert die Wahl von Winkeln, bei denen sich die Kosinusse konstruktiv kombinieren. Die Wahl a = 0°, b = 22,5°, a' = 45°, b' = 67,5° ergibt Differenzen von 22,5°, 67,5°, 22,5° und 22,5°. Eingesetzt in die Kosinusformel ergibt das S = 2√2 ≈ 2,828.

Frühe Bell-Experimente hatten Schlupflöcher: das „Detektionsschlupfloch“ (nur ein Teil der Photonenpaare wird erkannt, möglicherweise eine verzerrte Stichprobe), das „Lokalitätsschlupfloch“ (Detektoren nah genug, dass ein unterlichtschnelles Signal Alices Einstellung an Bob übermitteln könnte, bevor er misst) und das „Willensfreiheits-Schlupfloch“. Das Delft-Experiment von Hensen et al. 2015 schloss alle großen Schlupflöcher gleichzeitig mit verschränkten Elektronen in Stickstoff-Fehlstellenzentren 1,3 km voneinander entfernt, mit S = 2,42 ± 0,20.

Die statistische Signifikanz einer Bell-Verletzung wächst mit √N, wobei N die Anzahl der Durchläufe ist. Bei N = 1.000 Durchläufen liegt der Standardfehler von S bei etwa 0,06, was eine Quantenverletzung (S ≈ 2,83 gegenüber der klassischen Grenze 2,0) etwa 13 Standardabweichungen von der klassischen Grenze entfernt platziert. Reale Experimente nutzen Millionen von Durchläufen und erreichen p-Werte unter 10⁻¹⁵.

Ja — Photonen sind die häufigste Wahl für Bell-Tests, da Polarisationsverschränkung relativ einfach durch spontane parametrische Fluoreszenz (SPDC) erzeugbar ist und Photonen mit Lichtgeschwindigkeit reisen, was das Lokalitätsschlupfloch leichter schließbar macht. Alice und Bob messen Photonenpolarisation entlang gewählter Achsen; ein polarisierender Strahlteiler und zwei Detektoren ersetzen die Stern-Gerlach-Magnete des Spinmodells.

Quanten-Nichtlokalität ist der Name für die Korrelationen zwischen verschränkten Teilchen, die Bell-Ungleichungen verletzen. Sie unterscheidet sich von Nichtlokalität im Sinne einer Fernwirkung: Es gibt keinen kausalen Einfluss, der sich zwischen den Teilchen ausbreitet, und die Korrelationen erscheinen nur in der gemeinsamen Statistik, nicht in einer lokalen Observablen.

Ja — es gibt viele Verallgemeinerungen. Die Mermin-Ungleichungen gelten für drei oder mehr Parteien und können von GHZ-Zuständen (Greenberger-Horne-Zeilinger) um einen Faktor verletzt werden, der exponentiell mit der Anzahl der Qubits wächst. Vielteilchen-Bell-Ungleichungen sind relevant für Quantenkryptografie (geräteunabhängige Quantenschlüsselverteilung) und Quantencomputing.

Die Tsirelson-Grenze (1980) ist der maximale Wert von S, der von jedem Quantenzustand und jeder Quantenmessung erreicht werden kann: |S| ≤ 2√2 ≈ 2,828. Sie liegt streng zwischen der klassischen Grenze (2) und dem algebraischen Maximum (4). Dass die Quantenmechanik |S| = 4 nicht erlaubt, bedeutet, dass sie nicht „maximal nichtlokal“ ist — es gibt hypothetische Theorien (z. B. „Popescu-Rohrlich-Boxen“), die 2√2 verletzen und dennoch No-Signalling respektieren.