🪨 Granulares Gas — Inelastischer Kollaps

Inelastischer Kollaps ist eine mathematische Singularität bei sehr niedriger Restitution: Ein Partikelcluster kann in endlicher Zeit unendlich viele Kollisionen durchlaufen, wodurch die Relativgeschwindigkeiten null erreichen. In realen Simulationen mit r < ~0,3 wird eine Geschwindigkeitsuntergrenze angewendet, um unendliche Kollisionsschleifen zu vermeiden und trotzdem Clusterbildungsverhalten zu zeigen.

Selbst ein homogenes granulares Gas mit r < 1 ist instabil gegenüber Dichteschwankungen. Dichtere Regionen dissipieren mehr Energie, kühlen schneller ab, entwickeln einen niedrigeren Druck und ziehen mehr Partikel an — eine sich selbst verstärkende Instabilität. Das Ergebnis ist spontane Clusterbildung: dichte, kalte Cluster, umgeben von heißen, verdünnten Regionen. Eine Verringerung von r macht die Clusterbildung ausgeprägter.

Im Vibrationsmodus injiziert eine sinusförmig oszillierende Bodenwand Energie in das granulare Gas und kompensiert so die Kollisionsdissipation. Im stationären Zustand erreicht das System einen Nichtgleichgewichts-Stationärzustand, in dem der Energieeintrag den Energieverlust ausgleicht — die Grundlage vieler industrieller granularer Verarbeitungsanwendungen wie Vibrationsförderer und -trichter.

Die granulare Temperatur T_g ist definiert als T_g = ⟨v²⟩/2 (mittlere kinetische Energie pro Partikel). Anders als die thermodynamische Temperatur steht sie nicht mit thermischer Brownscher Bewegung in Zusammenhang; sie misst die zufällig fluktuierende Geschwindigkeitskomponente. Sie dient als grundlegender Ordnungsparameter der granularen Hydrodynamik und fällt auf null, wenn Körner sich zusammenballen und zur Ruhe kommen.

Diese Simulation verwendet ereignisgesteuerte Molekulardynamik (EDMD): Statt fester Zeitschritte wird die nächste Kollision analytisch bestimmt (durch Lösen quadratischer Gleichungen für Scheibe-Scheibe- und Scheibe-Wand-Schnittzeiten), alle Partikel werden auf diesen Zeitpunkt vorgerückt, die Kollisionsreaktion wird angewendet, und der Vorgang wiederholt sich. Eine Zellenliste (räumliches Hashing) reduziert die O(N²)-Kollisionssuche auf O(N) pro Zeiteinheit und ermöglicht so Echtzeitsimulation im Browser.

Wenn r deutlich kleiner als 1 ist, verringern wiederholte Kollisionen die Relativgeschwindigkeiten rasch. Partikel, die wiederholt kollidieren, haften im Wesentlichen aneinander. Nachbarn verlieren ebenfalls Geschwindigkeit und schließen sich dem Cluster an. Da der granulare Druck proportional zu T_g ist, üben kalte Cluster weniger Druck aus als die umgebenden heißen Regionen und können der Kompression nicht widerstehen, was zu einem unkontrollierten Dichteanstieg führt.

Diese Simulation veranschaulicht: (1) inelastische vs. elastische Kollisionen und Energieerhaltung; (2) die Entstehung makroskopischer Dissipationsgesetze aus mikroskopischen Kollisionsregeln; (3) spontane Symmetriebrechung und Musterbildung in Nichtgleichgewichtssystemen; (4) das Konzept eines Nichtgleichgewichts-Stationärzustands unter Antrieb. Studierende können das Haffsche Gesetz anhand der doppelt-logarithmischen Steigung überprüfen, die Einsetzzeit der Clusterbildung als Funktion von r messen und Regime mit freier Abkühlung mit vibrationsgetriebenen Regimen vergleichen.