∞ Möbiusband — Topologie einer einseitigen Fläche

Die Parametrisierung dreht den Querschnitt (ungerades k) bei jeder vollen Schleife um t∈[0,2π) um eine halbe Umdrehung. Folgt man der Fläche bei s=+1 eine volle Schleife lang, verbindet sie sich kontinuierlich mit s=-1, sodass die beiden Kanten und beiden Flächen eines normalen Bandes zu einer einzigen Kante und einer einzigen Seite verschmelzen. Deshalb ergibt die Euler-Charakteristik des Bandes χ=0, und es gilt als nicht-orientierbar.

Ein gerades k hebt die nicht-orientierbare Verdrehung auf: Die Fläche schließt sich so, dass s=+1 nach einer Schleife auf s=+1 trifft (nicht auf s=-1), was zwei verschiedene Seiten und zwei verschiedene Kanten ergibt — topologisch ein Zylinder, auch wenn er noch verdreht aussehen mag. Nur ungerade Werte von k (1, 3, 5) erzeugen echte einseitige, einkantige Möbiusbänder; die Anzeigen für Seiten und Kanten in der Faktenleiste wechseln entsprechend zwischen 1 und 2.

Jedes der 120×16 Oberflächenvierecke hat seinen Schwerpunkt in den Blickraum rotiert, und jedes Viereck wird in jedem Bild nach dieser rotierten Z-Tiefe neu sortiert — ein Malers-Algorithmus — bevor es von hinten nach vorne gefüllt wird. Da sich das Band in 3D durch sich selbst windet, ist diese Neusortierung pro Bild, anstelle einer festen Zeichenreihenfolge, dafür verantwortlich, dass die Fläche beim Ziehen fest und korrekt verdeckt aussieht.

Die Ameise bewegt sich entlang der Mittellinie s=0, während t von 0 bis 2π durchläuft. Auf einem zweiseitigen Zylinder (gerades k) müsste sie eine Kante überqueren, um zur „Rückseite" des Bandes zu gelangen; auf dem Möbiusband (ungerades k) ist keine solche Überquerung nötig, weil sich die Fläche bereits so krümmt, dass die ferne Seite nach einer Schleife wieder zur nahen Seite trifft. Zu beobachten, wie die Ameise eine vollständige Runde ohne Kantenüberquerung vollendet, ist eine direkte, praktische Demonstration der Einseitigkeit.

Das Schneiden entlang s=0 entfernt die einzige Kante, die die Fläche einseitig machte, aber die zwei erwarteten Randkurven eines gewöhnlichen Schnitts sind tatsächlich eine einzige durchgehende Kurve, weil die Verdrehung (ungerades k) bedeutet, dass die „linke" Schnittkante erst nach zweimaligem Umlauf wieder mit der „rechten" Schnittkante verbunden wird. Das Ergebnis ist ein Band von doppelter Länge mit 2k halben Verdrehungen, statt zweier getrennter Streifen.