⚡ Halbleiter-Bänderstruktur — Leitungsband, Valenzband & Dotierung

Der Temperaturregler (100–700 K) verändert die thermische Energie kT, was die intrinsische Ladungsträgerdichte stark erhöht und die Lücke über den Varshni-Term leicht verengt. Der Dotierungsregler setzt N_d auf einer logarithmischen Skala von 10¹² bis 10²⁰ cm⁻³ und steuert, wie stark das Material dotiert ist und damit, wie weit sich das Fermi-Niveau verschiebt.

Im Gleichgewicht gilt stets das Massenwirkungsgesetz n·p = n_i². Für eine n-Typ-Probe löst die Simulation n = N_d/2 + √(N_d²/4 + n_i²) und setzt dann p = n_i²/n. Die intrinsische Dichte selbst ergibt sich aus n_i = √(N_c·N_v)·exp(−E_g/2kT), wobei k die Boltzmann-Konstante ist, 8,617×10⁻⁵ eV/K.

Bei einem direkten Halbleiter wie GaAs liegt das Leitungsbandminimum beim gleichen Kristallimpuls k wie das Valenzbandmaximum, sodass Elektronen und Löcher leicht durch Lichtemission rekombinieren. Bei indirekten Materialien wie Silizium und Germanium sind die Minima in k versetzt, dargestellt in der E-k-Ansicht als Leitungstäler bei ±k, was ein Phonon zur Impulserhaltung erfordert.

In der Nähe einer Bandkante variiert die Energie ungefähr als E(k) ≈ E_Kante ± ℏ²k²/2m*, eine Parabel, deren Krümmung durch die effektive Masse m* bestimmt wird. Die Simulation zeichnet eine Leitungsparabel plus Schwer- und Leichtloch-Valenzbänder, sodass eine schärfere Kurve einem leichteren, beweglicheren Ladungsträger entspricht.

Es ist ein anschauliches Lehrmodell und keine vollständige Bänderstrukturberechnung. Die Näherungen mit parabolischem Band, Boltzmann-Statistik und Varshni-Term geben die richtigen Trends und Größenordnungen der Ladungsträgerdichten wieder, vernachlässigen aber entartete Fermi-Dirac-Statistik, unvollständige Dotierstoff-Ionisierung und die detaillierten Mehrtal-Formen, die ein Code wie DFT liefern würde.

Die intrinsische Dichte trägt einen Faktor exp(−E_g/2kT), sodass das Erhitzen des Kristalls die Zahl der thermisch angeregten Elektron-Loch-Paare exponentiell erhöht. Die Ansicht Ladungsträger gegen Temperatur zeigt dies auf logarithmischer Skala und veranschaulicht, wie eine stark dotierte Probe bei niedriger Temperatur nahe N_d bleibt, bevor die intrinsische Kurve sie schließlich überholt.

Bei gleicher Elektronen- und Löcherpopulation und vergleichbarer Zustandsdichte liegt das chemische Potenzial nahe der Mitte der Lücke. Die Simulation misst E_F ab der Bandmitte und berechnet die Verschiebung als kT·ln(n/n_i) für n-Typ oder −kT·ln(p/n_i) für p-Typ, sodass das Hinzufügen von Ladungsträgern das Niveau zum jeweils näheren Band verschiebt.

Jede Diode, jeder Transistor, jede LED, jeder Laser und jede Solarzelle beruht auf der Steuerung von Bandkanten und Fermi-Niveaus durch Dotierung. Die Wahl von Silizium für Logikschaltungen, GaAs für schnelle oder lichtemittierende Bauelemente und weitbandigem Diamant für Leistungs- und Hochtemperaturelektronik folgt direkt aus den Bandlücken und Bänderstrukturen, die diese Simulation veranschaulicht.