🪐 Kepler-Umlaufbahnen — Elliptische Planetenbewegung

Ein Kreis ist nur der Sonderfall, bei dem die Anfangsgeschwindigkeit genau der lokalen Kreisgeschwindigkeit entspricht, v_circ = √(μ/r). Jede andere Tangentialgeschwindigkeit erzeugt weiterhin eine geschlossene, gebundene Bahn, solange die gesamte spezifische Energie ε = v²/2 − μ/r negativ bleibt, doch die Bahn wird zu einer Ellipse, deren Exzentrizität wächst, je weiter die Anfangsgeschwindigkeit von v_circ abweicht. Beim Standardwert des Reglers von 1,00× ist die Bahn ein nahezu perfekter Kreis; das Verschieben des Reglers von 1,00× in beide Richtungen streckt sie.

Erreicht die Geschwindigkeit √2 mal die Kreisgeschwindigkeit, wird die spezifische Energie ε genau null, und die Bahn wird zu einer Parabel, die nie zurückkehrt — die Fluchtgeschwindigkeit. Darüber ist ε positiv und die Bahn eine offene Hyperbel. Dieser Simulator begrenzt den Regler deutlich unter dieser Schwelle (bei 1,30×, komfortabel unter √2 ≈ 1,414), sodass jede wählbare Bahn eine geschlossene, gebundene Ellipse bleibt.

Runge-Kutta 4. Ordnung schätzt den Zustand einen kurzen Zeitschritt voraus, indem die Beschleunigung an vier Punkten innerhalb dieses Schritts abgetastet und mit sorgfältig gewählten Gewichten kombiniert wird, was Fehlerterme bis zur vierten Ordnung aufhebt. Für das reine Zweikörperproblem existiert eine exakte Ellipse in geschlossener Form, sodass RK4 hier eigentlich als Konsistenzprüfung dient: Würde der numerisch verfolgte Pfad sichtbar von der darunter gezeichneten analytischen Ellipse abweichen oder präzedieren, wäre das ein Zeichen für einen Integrationsfehler. Dutzende kleiner RK4-Teilschritte pro Animationsframe halten diese Abweichung über viele Umläufe hinweg unmerklich.

Aus der erhaltenen spezifischen Energie ε = v₀²/2 − μ/r₀ und dem spezifischen Drehimpuls h = r₀v₀ am Startpunkt ist die große Halbachse a = −μ/(2ε) und die Exzentrizität e = √(1 − h²/(μa)). Das Perihel ist dann a(1−e), und das Aphel ist a(1+e). Das funktioniert unabhängig davon, ob der Startpunkt der nahe oder der ferne Punkt der entstehenden Ellipse ist — die Algebra korrigiert sich in beiden Fällen selbst.

Weil sie es sind, konstruktionsbedingt: Keplers zweites Gesetz besagt, dass die Flächengeschwindigkeit dA/dt = h/2 konstant ist, vollständig festgelegt durch den Drehimpuls der Bahn. Beide Sektoren werden mit demselben festen Zeitintervall (2 % der Umlaufzeit) gezeichnet, sodass beide fast genau dieselbe Fläche abdecken, egal wo auf der Ellipse sie platziert sind — ein schneller, schmaler Sektor nahe dem Perihel und ein langsamer, breiter nahe dem Aphel.

Sie behandelt den umlaufenden Körper als von vernachlässigbarer Masse, sodass er den Zentralstern nie zurückzieht (bei einem echten Zweikörperproblem würden beide Körper ihren gemeinsamen Schwerpunkt umkreisen). Sie ignoriert auch dritte Körper, relativistische Korrekturen, Strahlungsdruck und nicht-sphärische Massenverteilungen — alles reale Effekte, die tatsächliche Planeten- und Satellitenbahnen über lange Zeiträume von perfekten geschlossenen Ellipsen abweichen lassen.

Dieselbe inverse-quadratische Gravitation und RK4-artige numerische Integration bestimmen die Bahnen von Planeten, Monden, Kometen und jedem künstlichen Satelliten und interplanetaren Raumfahrzeug. Missionsplaner verwenden Varianten höherer Ordnung genau dieser Technik, um Flugbahnen zu planen, Transferbahnen zu berechnen und vorherzusagen, wo sich ein Raumfahrzeug Jahre in eine Mission hinein befinden wird, noch bevor Störungen durch andere Körper überhaupt hinzugefügt werden.