🔮 Hyperbolische Geometrie-Parkettierung

Hyperbolische Geometrie ist eine nicht-euklidische Geometrie, in der das Parallelenpostulat nicht gilt: Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden verlaufen unendlich viele Geraden, die parallel zur gegebenen Geraden sind. Sie besitzt eine konstante negative Krümmung, anders als die flache euklidische Ebene oder die positive Krümmung einer Kugel.

Das Poincaré-Kreismodell stellt die gesamte hyperbolische Ebene innerhalb der Einheitskreisscheibe dar. Punkte innerhalb sind hyperbolische Punkte; der Rand liegt „im Unendlichen“. Geodäten erscheinen als Kreisbögen, die den Rand im rechten Winkel treffen, oder als Durchmesser der Scheibe.

Eine {p,q}-Parkettierung (Schläfli-Symbol) ordnet reguläre p-Ecke um jeden Eckpunkt an, wobei sich dort q Vielecke treffen. Die Parkettierung ist hyperbolisch, wenn (p-2)(q-2) > 4 ist, euklidisch, wenn dies gleich 4 ist, und sphärisch, wenn es kleiner als 4 ist. Zum Beispiel ordnet {7,3} Siebenecke an, wobei sich an jedem Eckpunkt 3 treffen.

Eine Möbius-Transformation ist eine Abbildung f(z) = (az+b)/(cz+d) auf der komplexen Ebene. Die orientierungserhaltenden Isometrien der hyperbolischen Kreisscheibe sind genau die Möbius-Transformationen, die die Einheitskreisscheibe auf sich selbst abbilden und die Gruppe PSU(1,1) bilden.

Im Poincaré-Kreismodell lautet die hyperbolische Metrik ds = 2|dz|/(1-|z|²). Nahe dem Rand, wo |z|→1 geht, nähert sich der Nenner null, sodass euklidische Abstände gestaucht erscheinen. Alle Kacheln haben gleiche hyperbolische Fläche — die Verzerrung ist ein Artefakt der Darstellung eines Raums mit negativer Krümmung in flachen Koordinaten.

Der Satz von Gauß-Bonnet für den hyperbolischen Raum gibt die Fläche eines n-Ecks an als: Fläche = (n-2)π - Σθᵢ, wobei θᵢ die Innenwinkel sind. Für eine {p,q}-Kachel gilt: Fläche = π((p-2) - 2p/q).

Die hyperbolische Geometrie wurde unabhängig voneinander von János Bolyai (1832), Nikolai Lobatschewski (1830) und Carl Friedrich Gauß (der nie veröffentlichte) entdeckt. Das Poincaré-Kreismodell wurde von Henri Poincaré in den 1880er Jahren eingeführt.

M.C. Escher schuf seine berühmte Circle-Limit-Serie (1958-1960) mit {6,4}- und {4,6}-hyperbolischen Parkettierungen und füllte die Kreisscheibe mit Fischen, Engeln oder Teufeln, die zum Rand hin kleiner werden. Er lernte den Rahmen vom Geometer H.S.M. Coxeter.

Im Poincaré-Kreismodell sind Geodäten Kreisbögen, die den Randkreis im Winkel von 90° schneiden, oder Durchmesser der Kreisscheibe. Zwei Geodäten können parallel sein (Treffen am Rand), ultraparallel (kein Treffen) oder sich schneiden (Treffen innerhalb der Scheibe).

Die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene ist PSL(2,ℝ) (oberes Halbebenenmodell) oder PSU(1,1) (Kreismodell). Diese Möbius-Transformationen erhalten das jeweilige Modell und bilden eine nicht kompakte Gruppe unendlichen Volumens, anders als die kompakten Isometriegruppen der Kugel.