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Polski〰️ Gaußsche Krümmung Explorer
Interaktiver Gaußsche-Krümmung-Explorer. Vergleichen Sie Kugel, Ebene, Sattel, Zylinder und Torus als drehbare, farbcodierte Netze, mit der echten differentialgeometrischen Krümmungsformel an jedem Punkt jeder Fläche berechnet.
Über diese Simulation
Dieser Explorer rendert fünf klassische Flächen — Kugel, Ebene, Sattel, Zylinder und Torus — als drehbare 3D-Netze und färbt jeden Punkt nach seiner Gaußschen Krümmung K, berechnet aus den Hauptkrümmungen κ₁ und κ₂ als K = κ₁·κ₂. Positive, negative und null Krümmung werden unterschiedlich eingefärbt, um Gauß' Theorema Egregium anschaulich zu machen.
🔬 Was gezeigt wird
Jede Fläche wird als Netz mit an jedem Punkt berechneter Gaußscher Krümmung gerendert. Kugeln haben überall positive Krümmung, Ebenen und Zylinder null, und Sättel negative — der Torus zeigt alle drei Bereiche je nach Position.
🎮 Bedienung
Wählen Sie eine Fläche, stellen Sie die Netzauflösung ein und aktivieren Sie die automatische Rotation mit einstellbarer Geschwindigkeit. Im Torus-Modus lässt sich zusätzlich das Verhältnis von kleinem zu großem Radius (r/R) einstellen.
💡 Wussten Sie schon?
Gauß' Theorema Egregium besagt, dass die Gaußsche Krümmung eine intrinsische Eigenschaft einer Fläche ist — sie kann allein durch Messungen innerhalb der Fläche bestimmt werden, ohne den umgebenden 3D-Raum zu betrachten. Deshalb lässt sich eine Kugeloberfläche nicht ohne Verzerrung flach auf eine Karte abbilden.
Häufig gestellte Fragen
Was ist Gaußsche Krümmung?
Sie ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen κ₁ und κ₂ an einem Punkt einer Fläche: K = κ₁·κ₂. Sie beschreibt, wie stark und in welcher Weise sich eine Fläche lokal biegt.
Warum hat eine Kugel überall positive Krümmung?
Auf einer Kugel krümmen sich beide Hauptkrümmungsrichtungen in dieselbe Richtung (nach innen), sodass ihr Produkt stets positiv ist — die Fläche wölbt sich in allen Richtungen gleich.
Warum hat ein Sattel negative Krümmung?
Bei einem Sattel krümmt sich die Fläche in einer Richtung nach oben und in der senkrechten Richtung nach unten. Die beiden Hauptkrümmungen haben entgegengesetzte Vorzeichen, daher ist ihr Produkt negativ.
Warum haben Ebene und Zylinder null Krümmung?
Eine Ebene krümmt sich in keiner Richtung. Ein Zylinder krümmt sich nur in einer Richtung (um die Achse) und ist in der anderen gerade — eine der beiden Hauptkrümmungen ist null, also ist auch das Produkt null.
Was zeigt der Torus, das andere Flächen nicht zeigen?
Ein Torus hat je nach Position positive Krümmung (außen), negative Krümmung (innen, am Loch) und Nullkrümmung (an den Übergangslinien) — er vereint alle drei Krümmungsarten auf einer einzigen geschlossenen Fläche.