🫧 Saffman-Taylor — Viskoses Fingering

Die Saffman-Taylor-Instabilität tritt auf, wenn eine niedrigviskose Flüssigkeit in eine hochviskose Flüssigkeit in einem engen Spalt gedrückt wird: Die flache Grenzfläche zwischen ihnen kann nicht gleichmäßig voranschreiten und zerfällt stattdessen in verzweigte Finger. Diese Simulation reproduziert das numerisch, indem sie in jedem Bild ein Druckfeld relaxiert und die Grenzfläche dort am schnellsten wachsen lässt, wo der Druckgradient am steilsten ist — genau der Mechanismus, den Philip Saffman und Geoffrey Taylor 1958 identifizierten.

Eine Hele-Shaw-Zelle besteht aus zwei flachen Platten, die durch einen sehr dünnen Spalt getrennt sind; die dazwischen gepresste Flüssigkeit verhält sich wie eine zweidimensionale Version der Strömung durch ein poröses Medium und gehorcht dem Darcy-Gesetz u = -(k/μ)∇p. Das Gitter der Simulation stellt diese Zelle von oben dar: gefüllte Zellen sind die injizierte Flüssigkeit, leere Zellen sind die viskose Flüssigkeit, deren Druck der Code jedes Bild mit einer Gitterrelaxation der Laplace-Gleichung löst.

Die Kapillarzahl skaliert, wie stark die Wachstumschance einer Zelle vom lokalen Druckabfall abhängt, potenziert mit 1/Ca — eine niedrigere Ca bedeutet, dass nur die steilsten Gradienten wachsen, was breite Finger ergibt. Das Viskositätsverhältnis multipliziert dieselbe Wachstumschance direkt, sodass ein größerer Kontrast zwischen den Flüssigkeiten das Fingering insgesamt beschleunigt. Die Oberflächenspannung senkt sowohl den zugewiesenen Druck an konvexen, gefüllten Spitzenzellen (Gibbs-Thomson) als auch subtrahiert zusätzliche Wachstumschance von konkaven Vertiefungen, was die Grenzfläche glättet und die minimale Fingerbreite festlegt.

Bei nahezu null Oberflächenspannung hört der Code auf, scharfe Spitzen zu dämpfen, sodass das Wachstum allein vom Druckgradienten eines Laplace-Felds bestimmt wird — derselben Regel, die diffusionsbegrenzte Aggregation (DLA) antreibt, bei der Teilchen dort haften, wo der Gradient eines diffundierenden Felds am steilsten ist. Beide Prozesse sind Beispiele für Laplace-Wachstum, sodass die Simulation bei geringer Oberflächenspannung dieselbe Art von selbstähnlichem verzweigtem Fraktal erzeugt wie DLA-Cluster, mit einer fraktalen Dimension nahe 1,7.

Alle 30 Bilder prüft der Code, wie viele Gitterzellen nahe den oberen und unteren Rändern von der injizierten Flüssigkeit gefüllt wurden. Wenn mehr als ein Viertel der Zellen entlang dieser Ränder gefüllt ist, ruft er dieselbe seed()-Funktion auf, die auch von der Reset-Schaltfläche verwendet wird, leert das Gitter und startet eine neue Scheibe im Zentrum — das verhindert, dass das Muster zu einem uninteressanten festen Block heranwächst, der den Rand der simulierten Zelle erreicht hat.