🌊 Chaotische Wellen — Ketten nichtlinearer Oszillatoren

Bei jedem Animationsframe projiziert der Simulator die aktuellen Positionen und Geschwindigkeiten auf die N Normalmoden der linearen Kette mittels einer diskreten Sinustransformation (qₖ = Σᵢ xᵢ·sin(kπi/(N+1)), analog für Impulse), und berechnet dann die harmonische Energie jeder Mode Eₖ = ½pₖ² + ½ωₖ²qₖ² mit der Dispersionsrelation ωₖ = 2sin(kπ/2(N+1)). Diese Moden-Energien werden für jede der ersten 24 Moden zu einer laufenden Summe akkumuliert und als Balken dargestellt, wobei die anfänglich angeregte Mode k hervorgehoben wird — genau die Diagnostik, die Fermi, Pasta, Ulam und Tsingou in ihrem ursprünglichen Bericht von 1955 verwendeten.

Velocity Verlet ist ein symplektischer Integrator: Er bewahrt näherungsweise die Hamiltonsche Struktur der Bewegungsgleichungen, sodass die Gesamtenergie um einen konstanten Wert oszilliert, statt über lange Simulationszeiten abzudriften. Für ein chaotisches oder nahezu integrables System wie die FPUT-Kette würde eine nicht-symplektische Methode (z. B. das einfache Euler-Verfahren) künstlich Energie verlieren oder gewinnen und könnte fälschliche Thermalisierung oder Wiederkehr erzeugen. Der Wert der Gesamtenergie in diesem Simulator sollte über die Zeit im Wesentlichen konstant bleiben — das ist eine direkte Prüfung der Qualität des Integrators.

Bei α=β=0 reduziert sich jedes Modell auf die rein harmonische Kette, deren exakte Lösung eine Summe unabhängiger Normalmoden ist, die niemals Energie austauschen. Das Anregen der Mode k zeigt im Moden-Energiespektrum, dass die gesamte Energie dauerhaft in Balken k verbleibt, während alle anderen Balken bei null liegen — es gibt keine Schwebung, keine Wiederkehr und kein Chaos, weil lineare Normalmoden schlicht nicht wechselwirken. Dies ist die Ausgangsbasis, gegen die das FPUT-Experiment testen sollte.

Das Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem (KAM) beschreibt, dass beim Hinzufügen einer kleinen nichtlinearen Störung zu einem integrablen Hamilton-System (wie der linearen Kette oder dem integrablen Toda-Gitter) die meisten quasi-periodischen invarianten Tori erhalten bleiben, anstatt sofort in Chaos zu zerfallen. Deshalb zeigen die α- und β-FPUT-Ketten bei schwacher bis moderater Nichtlinearität eine langlebige Fast-Wiederkehr, statt sofort zu thermalisieren: Das System bleibt einem integrablen nahe. Erst wenn der Nichtlinearitätsregler hoch genug eingestellt wird, überlappen genügend Resonanzen, um die überlebenden Tori zu zerstören und eine echte chaotische Energieverteilung über die Moden zu erzeugen.

Ein größeres N liefert eine feinere räumliche und spektrale Auflösung und erlaubt höhere Modenzahlen, erhöht aber auch die Anzahl nahezu resonanter Moden-Tripel/-Quartette, die nichtlineare Terme koppeln können, was die Thermalisierung bei gegebener Nichtlinearität im Allgemeinen erleichtert. Das Anregen einer niedrigen Mode (kleines k, lange Wellenlänge) zeigt tendenziell die sauberste FPUT-Wiederkehr, da ihre nächsten Nachbarn im Modenspektrum in der Frequenz gut getrennt sind; das Anregen einer hohen Mode (k nahe N) bringt das System näher an den Rand der Brillouin-Zone, wo die Dispersionsrelation abflacht und benachbarte Moden leichter in Resonanz geraten.

Die Farbe jeder Kugel kodiert ihre momentane kinetische Energie, ½mvᵢ², skaliert relativ zur heißesten Kugel in der Kette zu diesem Zeitpunkt (blau → niedrige kinetische Energie, rot → hohe kinetische Energie). Das Beobachten des Farbmusters ist ein schneller visueller Ersatz für dieselbe Frage der Energieverteilung, die das Modenspektrum numerisch beantwortet: Im nahezu wiederkehrenden Regime schwappt der "heiße Fleck" in einem recht organisierten Muster hin und her, das an die Wellenlänge der angeregten Mode gebunden ist, während im chaotischen/thermalisierten Regime die heißen und kalten Kugeln räumlich ungeordnet und im Zeitmittel annähernd gleichmäßig werden.

Ja, strukturell: eine eindimensionale Kette von Massen an identischen nichtlinearen Federn mit festen (eingespannten) Enden, gestartet aus einer einzigen sinusförmigen Normalmoden-Anregung und über die Zeit auf einem Computer weiterentwickelt — genau der Aufbau des Los-Alamos-Berichts von 1955 (ursprünglich mit N=32 oder 64 Massen und einem kleinen α- oder β-Term). Dieser Simulator lässt Sie zusätzlich das exakt integrable Toda-Potential einsetzen, das später (1967) eingeführt wurde, um mittels Solitonentheorie zu erklären, warum die ursprüngliche FPUT-Kette sich weigerte zu thermalisieren.