🌀 Hénon-Map — ein seltsamer Attraktor aus einer einfachen Iteration

Wird a von 1.4 aus verringert, durchläuft der Attraktor typischerweise eine Folge von Periodenhalbierungs-Bifurkationen, unterbrochen von schmalen periodischen Fenstern, in denen die chaotische Wolke auf eine kleine Anzahl diskreter Punkte kollabiert (eine stabile periodische Bahn), statt eine fraktale Wolke auszufüllen. Ein bekanntes periodisches Fenster liegt bei a ≈ 1.22–1.25 bei b = 0.3. Der Parameter b legt die Rate der Flächenkontraktion fest (die Jacobi-Determinante der Abbildung ist konstant und gleich −b); größere b-Werte dünnen die Filamente des Attraktors weniger aggressiv aus, während sehr kleine b-Werte die Abbildung nahezu eindimensional machen (ähnlich der logistischen Abbildung), und sehr große b-Werte können dazu führen, dass Bahnen ins Unendliche divergieren, statt sich auf einen Attraktor einzupendeln.

Da der Hénon-Attraktor aus unendlich vielen übereinandergeschichteten Dehn-und-Falt-Operationen aufgebaut ist, sieht jeder kleine Ausschnitt des Attraktors bei Vergrößerung statistisch dem gesamten Attraktor ähnlich — dieselben bananenförmigen Bögen und Lücken tauchen auf jeder Skala wieder auf, eine Eigenschaft, die Selbstähnlichkeit genannt wird. Die Zoomregelung dieser Simulation skaliert die Ansicht um das Zentrum des Attraktors neu, ohne die angesammelten Punkte zu löschen, sodass du beobachten kannst, wie sich ein einzelnes, dick wirkendes Filament in mehrere dünnere parallele Filamente auflöst, die sich bei weiterer Vergrößerung wiederum in noch mehr Filamente auflösen.

Ein Poincaré-Schnitt nimmt einen kontinuierlichen dreidimensionalen Fluss, wie das Lorenz-System, und zeichnet die Punkte auf, an denen die Trajektorie eine feste Ebene durchquert, wodurch ein zeitkontinuierlicher Attraktor in eine zeitdiskrete Abbildung auf dieser Ebene verwandelt wird. Hénon untersuchte die qualitative Form solcher Schnitte des Lorenz-Attraktors und konstruierte dann seine eigene Abbildung von Grund auf, um ein ähnliches Faltverhalten zu erhalten, dabei jedoch weitaus einfacher zu berechnen zu sein — die Hénon-Map ist nicht algebraisch aus den Lorenz-Gleichungen abgeleitet, erfasst aber denselben grundlegenden Dehn-und-Falt-Mechanismus, von dem angenommen wird, dass er vielen echten seltsamen Attraktoren zugrunde liegt.

Startet man zwei Iterationen von Punkten, die sich nur um einen winzigen Betrag unterscheiden, z. B. 10⁻¹⁰, verstärkt die nichtlineare Faltung der Hénon-Map diesen Unterschied mit jeder Iteration ungefähr exponentiell, sobald sich die Bahn auf dem chaotischen Attraktor befindet. Nach ein paar Dutzend Iterationen haben sich die beiden Trajektorien vollständig entkoppelt, obwohl sie fast identisch gestartet sind — dasselbe Phänomen, das populär als Schmetterlingseffekt bekannt ist, zuerst in kontinuierlichen Systemen wie den Lorenz-Gleichungen identifiziert, hier aber in einer viel einfacheren, rein algebraischen Abbildung vorhanden.

Die Hénon-Map besitzt nicht für jede Wahl von a und b einen globalen Attraktor — bei hinreichend großem a oder bei Anfangspunkten weit außerhalb des Einzugsbereichs können Iterierte unbegrenzt wachsen, statt sich auf der fraktalen Menge einzupendeln. Diese Simulation beschränkt die Regler auf die Bereiche (a zwischen 0.9 und 1.4, b zwischen 0.1 und 0.4), in denen die Abbildung, ausgehend vom Ursprung, zuverlässig auf einen beschränkten Attraktor oder eine periodische Bahn konvergiert, sodass du die interessante Dynamik erkunden kannst, ohne dass die Trajektorie ins Unendliche entweicht.

„Classic (a=1.4, b=0.3)" reproduziert Hénons ursprüngliche Parameter von 1976 und den kanonischen seltsamen Attraktor mit der Dimension ≈ 1.26. „Periodic window (a=1.25, b=0.3)" liegt in einem der schmalen Stabilitätsfenster, in denen das chaotische Verhalten vorübergehend verschwindet und sich die Bahn stattdessen auf einen kleinen periodischen Zyklus einpendelt, statt eine fraktale Wolke auszufüllen. „a=1.3 (near period-doubling)" liegt in einem Übergangsbereich zwischen dem periodischen Fenster und dem vollständig chaotischen Regime, in dem sich die Struktur des Attraktors noch bildet und bei feiner Abstimmung von a periodenverdopplungsähnliches Verhalten zu beobachten ist.