🎲 Chaos-Spiel

Die Hausdorff-Dimension verallgemeinert den Begriff der Dimension auf nicht-ganzzahlige Werte. Bei selbstähnlichen Fraktalen entspricht sie log(N)/log(1/r), wobei N die Anzahl der selbstähnlichen Teile und r das Skalierungsverhältnis ist. Das Sierpiński-Dreieck (N=3, r=1/2) hat die Hausdorff-Dimension ≈1,585; die Cantor-Menge (N=2, r=1/3) hat die Dimension ≈0,631; die Koch-Kurve (N=4, r=1/3) hat die Dimension ≈1,261. Fraktale mit einer Dimension zwischen 1 und 2 kann man sich als "mehr als eine Linie, aber weniger als eine Ebene" vorstellen.

Die fraktale Bildkompression (entwickelt von Michael Barnsley und Alan Sloan in den 1990er Jahren) speichert Bilder als IFS-Parameter statt als Pixeldaten. Da ein IFS detaillierte selbstähnliche Strukturen mit sehr wenigen Zahlen beschreiben kann, waren Kompressionsraten von 10:1 bis 50:1 erreichbar. Der Kodierungsschritt (das Finden des richtigen IFS für ein beliebiges Bild) ist jedoch rechenintensiv, und JPEG-/WebP-Kompression übertrifft fraktale Methoden in der Praxis in der Regel.

Ja — das IFS-Konzept lässt sich natürlich auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen erweitern. 3D-Versionen umfassen den Menger-Schwamm (27 Kontraktionen, die den mittleren Würfel entfernen, Dimension ≈2,727) und das 3D-Sierpiński-Tetraeder (4 Kontraktionen, Dimension = log(4)/log(2) = 2). Das Chaos-Spiel funktioniert in 3D identisch: Wählen Sie eine zufällige Transformation aus dem IFS, springen Sie einen Bruchteil des Weges zum Ergebnis, und zeichnen Sie den Punkt.

Die Drachenkurve ist ein IFS-Fraktal, das entsteht, indem man einen Papierstreifen wiederholt in dieselbe Richtung faltet und ihn im 90°-Winkel entfaltet. Ihr IFS besteht aus zwei Transformationen, die jeweils um 45° rotieren und um 1/√2 skalieren. Die Drachenkurve hat die Hausdorff-Dimension 2 — sie füllt einen begrenzten Bereich der Ebene aus —, doch ihr Rand hat die Dimension log(4)/log(1+√2) ≈ 1,524.

Natürliche fraktalähnliche Strukturen entstehen durch Wachstumsprozesse mit selbstähnlichen Regeln: Ein Farnwedel bildet Unterwedel, die durch denselben hormonellen Signalmechanismus wiederum Unter-Unterwedel bilden; ein Baum verzweigt sich auf jeder Skala nach derselben Regel; eine Küstenlinie wird auf jeder Längenskala durch dieselben physikalischen Prozesse erodiert. Das IFS formalisiert diese rekursiven Regeln mathematisch. Natürliche Fraktale sind jedoch nur über einen begrenzten Skalenbereich selbstähnlich (typischerweise 2–4 Größenordnungen), im Gegensatz zu mathematischen Fraktalen, die auf allen Skalen selbstähnlich sind.

Jeder IFS-Transformation fᵢ wird eine Wahrscheinlichkeit pᵢ mit Σpᵢ = 1 zugewiesen. Ungleiche Wahrscheinlichkeiten bestimmen, welche Teile des Attraktors dichter besucht werden. Beim Barnsley-Farn verwendet die Stieltransformation p = 0,85 und die Basis p = 0,01, was der relativen "Fläche" entspricht, die jede Transformation zum Attraktor beiträgt. Das Ändern der Wahrscheinlichkeiten verändert nicht die Form des Attraktors, sondern nur die Dichte der Punkte in den einzelnen Bereichen.

Alle Fraktale sind in gewissem Sinne selbstähnlich, aber nicht alle selbstähnlichen Formen sind Fraktale. Ein Quadrat lässt sich in vier kleinere Quadrate teilen (selbstähnlich mit Verhältnis 1/2), aber seine Dimension beträgt genau 2 — wie für eine 2D-Form zu erwarten. Ein Fraktal hat eine nicht-ganzzahlige Hausdorff-Dimension, die sich von seiner topologischen Dimension unterscheidet. Das Sierpiński-Dreieck ist topologisch eindimensional (es hat kein Inneres), doch seine Hausdorff-Dimension beträgt ≈1,585.