⛓ Kette & Seil — Positionsbasierte Dynamik-Simulation

Wenn eine Welle entlang eines hängenden Seils zum freien Ende wandert, trifft sie auf zunehmend weniger Glieder, die die Energie tragen. Da Energie erhalten bleibt und die bewegte effektive Masse abnimmt, muss die Geschwindigkeit der Spitze zunehmen, um dies auszugleichen — dasselbe Prinzip wie bei einer konvergierenden Welle in einem sich verjüngenden Medium. Bei einem idealen gleichförmigen Seil kann die Geschwindigkeit am freien Ende etwa das sqrt(3)-fache der Geschwindigkeit der ursprünglichen Störung erreichen, was bei einer echten Peitsche ausreicht, um die Schallgeschwindigkeit (~343 m/s) zu überschreiten und einen scharfen Knall zu erzeugen. In der Simulation können Sie beobachten, wie der Wert „Endgeschwindigkeit“ ausschlägt, wenn Sie einen Impuls mit einem freien Ende auslösen.

Schrägseil- und Hängebrücken nutzen Ketten- und Parabelformen der Seile, um Lasten effizient zu verteilen; die Forth Bridge und die Golden Gate Bridge sind bekannte Beispiele. Unterwasser-Verankerungsleinen für Ölplattformen müssen dynamischen Wellenbelastungen standhalten, die mit Kettengleichungen modelliert werden. Aufzugsseile, Kranseile und Seilbahnen erfordern von Ingenieuren die Vorhersage von Durchhang, Spannung und Resonanzfrequenzen. In der Robotik nutzen seilgetriebene Manipulatoren Seilphysik-Modelle, um die Position über die Spannung zu steuern. Sogar die Bewegung von DNA-Strängen in Lösung wird manchmal mit Kugel-Feder-Kettenmodellen angenähert, die eng mit PBD verwandt sind.

Die Form einer perfekt flexiblen, gleichmäßig dichten Kette, die unter ihrem eigenen Gewicht hängt, ist unabhängig von ihrer linearen Massendichte immer eine Kettenlinie — die Dichte kürzt sich aus der Formgleichung heraus. Was sich mit der Dichte ändert, ist die Spannung, die zur Aufrechterhaltung dieser Form erforderlich ist: Eine schwerere Kette benötigt proportional mehr Spannung an den Verankerungspunkten. In der Simulation skaliert der Schwerkraft-Regler effektiv das Gewicht pro Knoten, sodass eine höhere Schwerkraft den Durchhang verstärkt (da die vom Constraint-Solver bereitgestellte horizontale Spannung endlich ist), was diesen Zusammenhang zwischen Spannung und Form deutlich veranschaulicht.

Galileo glaubte 1638 fälschlicherweise, die hängende Kette bilde eine Parabel. Die korrekte Kettenliniengleichung wurde 1691 unabhängig voneinander von Gottfried Wilhelm Leibniz, Christiaan Huygens und Johann Bernoulli hergeleitet, alle als Antwort auf eine von Jakob Bernoulli gestellte Herausforderung. Der Name „Kettenlinie“ (vom lateinischen catena, Kette) wurde von Christiaan Huygens in einem Brief in jenem Jahr eingeführt. Johann Bernoullis Beweis nutzte die neu erfundene Infinitesimalrechnung und machte das Problem zu einem der ersten großen physikalischen Probleme, die mit diesem Werkzeug gelöst wurden. James Clerk Maxwell verwendete die Kettenlinie später als Beispiel in seinem Mechanik-Lehrbuch von 1873.

Die Stoffsimulation ist die zweidimensionale Erweiterung der Seil-PBD: ein Gitter aus Knoten, verbunden durch Dehnungs-, Scher- und Biegebeschränkungen. Weichkörperphysik (Gelee, Fleisch) nutzt volumetrische Beschränkungen auf demselben Punktmasse-Rahmenwerk. Fluid-SPH (Smoothed-Particle Hydrodynamics) ersetzt Abstandsbeschränkungen durch Druckkräfte, teilt aber die partikelbasierte Philosophie. Haare und Fell im Filmrendering verwenden ähnliche Kettenmodelle mit zusätzlicher Torsions- und Biegesteifigkeit. Die mysimulator.uk-Stoffsimulation verwendet denselben PBD-Solver, erweitert auf ein 2D-Gitter, sodass sich die Techniken direkt übertragen lassen.

Unreal Engines Chaos-Physiksystem und Unitys DOTS-Physik implementieren beide PBD für Seil-, Kabel- und Stoffkomponenten und ermöglichen Echtzeit-Interaktion mit interaktiven Bildraten. NVIDIA PhysX, das in vielen kommerziellen Spielen verwendet wird, nutzt ebenfalls einen PBD-ähnlichen Extended-Position-Based-Dynamics-Solver (XPBD), der eine von den Beschränkungen unabhängige Steifigkeitssteuerung bietet. Im Film-VFX verwenden Houdini Vellum und Autodesk Maya nCloth von PBD abgeleitete Solver für Seile, Haare und Stoffe, da die Methode auch bei sehr hohen Beschränkungszahlen stabil bleibt, im Gegensatz zu kraftbasierten ODE-Integratoren, die bei großen Zeitschritten numerisch explodieren können.

Standard-PBD hat eine bekannte Einschränkung: Die scheinbare Steifigkeit einer Beschränkung hängt von der Anzahl der Solver-Iterationen und der Zeitschrittgröße ab, was es schwierig macht, physikalische Parameter unabhängig von numerischen Einstellungen abzustimmen. Extended PBD (XPBD), eingeführt von Miles Macklin und Matthias Muller im Jahr 2016, fügt jeder Beschränkung einen Nachgiebigkeitsparameter hinzu, sodass die Steifigkeit von der Iterationszahl und dt entkoppelt wird. Dies ermöglicht es Künstlern und Ingenieuren, physikalisch sinnvolle Steifigkeitswerte (in N/m) direkt anzugeben, und ermöglicht zudem die Simulation elastischer Seile, die sich um einen kontrollierten Betrag dehnen, anstatt perfekt undehnbar zu sein. Aktuelle Forschungsrichtungen umfassen GPU-paralleles XPBD für Millionen von Seilsegmenten, die Kopplung von Seil-Solvern mit Fluid- und Starrkörper-Solvern sowie datengetriebene Nachgiebigkeitsparameter, die aus realen Materialtests gelernt werden.