Функція Вігнера W(x,p) — це квазіймовірнісний розподіл, що представляє квантовий стан у класичному фазовому просторі (положення x та імпульс p). На відміну від справжнього розподілу ймовірностей, їй дозволено набувати від'ємних значень, і всюди, де це відбувається, це є суворою ознакою справді некласичної поведінки. Фізики реконструюють функції Вігнера в лабораторії за допомогою квантової томографії стану, щоб перевіряти джерела одиночних фотонів, характеризувати стиснене світло та сертифікувати якість кубітів, що використовуються у фотонних квантових комп'ютерах.
Вакуум: W = (1/π)·exp(−x²−p²)
Когерентний (амплітуда α): W = (1/π)·exp(−(x−√2·Re α)²−(p−√2·Im α)²)
Фок n=1: W = (1/π)·(2(x²+p²)−1)·exp(−(x²+p²))
Кіт Шредінгера: W = 1/(2π(1+e^(−2α²)))·[e^(−(x−√2α)²−p²) + e^(−(x+√2α)²−p²) + 2e^(−x²−p²)cos(2√2αp)]
Юджин Вігнер представив цей розподіл у 1932 році, за десятиліття до того, як хтось міг би його виміряти. Лише у 1990-х роках, завдяки методам на кшталт оптичної гомодинної томографії, фізикам вдалося справді реконструювати від'ємну функцію Вігнера в лабораторії — пряме експериментальне підтвердження того, що світло може поводитися так, як жодна класична хвиля ніколи не могла б.
Функція Вігнера W(x,p) — це квантово-механічний аналог класичного розподілу ймовірностей у фазовому просторі. Для заданого квантового стану вона показує "щільність" цього стану для кожної комбінації положення x та імпульсу p. У багатьох аспектах вона поводиться як розподіл ймовірностей — інтегрування за p дає густину ймовірності положення, а інтегрування за x дає густину ймовірності імпульсу — проте їй дозволено опускатися нижче нуля. Ця від'ємність не має класичного аналога і розглядається фізиками як пряме свідчення квантової інтерференції всередині самого стану.
Ця симуляція обчислює W(x,p) на сітці 100×100 у діапазоні x,p ∈ [−4, 4] для чотирьох стандартних станів: гаусового вакууму, зміщуваного когерентного стану, однофотонного фокового стану та суперпозиції двох когерентних станів — кота Шредінгера. Кольорова теплокарта проходить від синього для від'ємних значень через білий при нулі до червоного/оранжевого для додатних значень, а показник "від'ємного об'єму" обчислюється наживо шляхом числового підсумовування від'ємної частини сітки, Σ min(W,0)·Δx·Δp — той самий тип обчислень, що використовується в реальних лабораторіях квантової оптики під час реконструкції виміряного стану за допомогою гомодинної томографії.
Чому функція Вігнера може бути від'ємною, якщо вона представляє ймовірність?
W(x,p) є "квазіймовірнісним" розподілом, а не справжнім розподілом ймовірностей. Вона правильно відтворює вимірювані ймовірності положення та імпульсу при інтегруванні, але положення й імпульс не можна виміряти одночасно в квантовій механіці, тому ніщо не забороняє спільній величині набувати від'ємних значень. Там, де це відбувається, це сигналізує, що стан не має класичного аналога у фазовому просторі.
Які стани в цій симуляції справді стають від'ємними?
Вакуумний і когерентний стани є чистими гаусіанами і залишаються додатними всюди — вони поводяться як класичні шумові плями. Фоковий стан n=1 (одиночний фотон) чітко провалюється у від'ємну область прямо в початку координат, а стан кота Шредінгера утворює осцилюючу картину смуг між своїми двома пелюстками, що коливається між додатними й від'ємними значеннями — обидві є безпомилковими квантовими ознаками.
Що керують повзунки α_re, α_im та α?
Для когерентного стану α_re та α_im — це дійсна та уявна частини комплексної амплітуди α, які зміщують гаусову пляму до точки (√2·α_re, √2·α_im) у фазовому просторі. Для стану кота Шредінгера єдиний повзунок α визначає, наскільки далеко одна від одної розташовані дві суперпоновані пелюстки когерентних станів уздовж осі x — більше α означає "більш макроскопічно відмінного" кота і тонші інтерференційні смуги.
Юджин Вігнер представив її у 1932 році як математичний міст між квантовою механікою та класичною статистичною механікою, сподіваючись знайти квантові поправки до термодинамічних величин. Пізніше вона стала наріжним інструментом квантової оптики та квантової інформатики, який використовується щоразу, коли фізикам потрібна повна "картина" квантового стану, а не одне окреме виміряне число.
Так. Лабораторії квантової оптики реконструюють функцію Вігнера світлового імпульсу за допомогою збалансованого гомодинного детектування у поєднанні з алгоритмом обернення — процесу, який називається квантовою томографією стану. Виміряна від'ємна функція Вігнера вважається переконливим прямим експериментальним доказом того, що джерело світла продукує справді некласичні стани, такі як одиночні фотони чи стиснене світло.
Формула W = (1/π)(2(x²+p²)−1)·exp(−(x²+p²)) точно дорівнює нулю на колі x²+p² = 1/2 і строго від'ємна всередині нього. Фізично це відображає той факт, що одиночний фотон має нульову ймовірність бути "у спокої" в початку координат фазового простору — його квантова невизначеність змушує розподіл вигинатися нижче нуля саме там, де класична частинка найбільш очікувано перебувала б.
Стан кота — це когерентна суперпозиція, а не суміш, двох когерентних станів при +α та −α. Функція Вігнера суперпозиції завжди містить перехресний член, що описує квантову інтерференцію між двома компонентами; тут цей член — 2·exp(−x²−p²)·cos(2√2·αp), який коливається за p між двома пелюстками і саме це робить стан відмінним від класичної суміші 50/50.
Приблизно так. Загальний від'ємний об'єм функції Вігнера використовується дослідниками як один із практичних показників "квантовості": він точно дорівнює нулю для будь-якого класично-подібного гаусового стану (вакуум, когерентний, тепловий, стиснений) і зростає за величиною для станів із тоншою, делікатнішою квантовою структурою — саме тому фоковий стан і кіт тут показують чітко від'ємний показник, тоді як вакуум і когерентний стан залишаються близько до нуля.