Два осцилятори ван дер Поля — нелінійні системи, що підпорядковуються рівнянню ẍ − μ(1−x²)ẋ + x = 0 — з'єднані між собою через член зв'язку κ(xⱼ−xᵢ). Кожен осцилятор окремо стабілізується на власному граничному циклі, але щойно κ стає більшим за нуль, їхні ритми притягуються один до одного — явище, зване спонтанною синхронізацією. Це той самий механізм, що, за припущеннями, змушує клітини-водії ритму серця, нейрони та циркадні годинники битись синхронно.
Інтегратор RK4 розв'язує пов'язані ДРР у реальному часі. Вигляд "Часовий ряд" відображає x₁(t) і x₂(t) один над одним; вигляд "Фазовий портрет" показує траєкторії (x, ẋ) поруч, щоб можна було спостерігати, як два граничні цикли поступово синхронізуються.
Перетягуйте Демпфування μ, щоб змінити, наскільки різко кожен осцилятор повертається до свого циклу, Зв'язок κ, щоб посилити зв'язок між ними, та Зсув фаз Δφ, щоб задати, наскільки далеко вони стартують один від одного. Перемикайтесь між Часовим рядом і Фазовим портретом, або натисніть Скинути, щоб перезапустити з обраного зсуву.
Параметр порядку r = cos(Δφ) та показник |Δφ| — це саме те, як дослідники кількісно оцінюють синхронізацію в реальних біологічних мережах; та сама статистика лежить в основі моделі Курамото, яку використовують для вивчення синхронних оплесків натовпу та спалахів світляків.
Це нелінійне ДРР другого порядку, ẍ − μ(1−x²)ẋ + x = 0, спочатку використане для моделювання ламкових електронних схем. На відміну від простого маятника, він має самопідтримний граничний цикл: незалежно від початкової точки, x(t) виходить на ту саму періодичну орбіту, а μ визначає, наскільки сильно нелінійне демпфування формує цей цикл.
Коли κ > 0, кожен осцилятор відчуває тяжіння до поточного стану іншого через член κ(xⱼ−xᵢ). Якщо це тяжіння достатньо сильне відносно різниці фаз, воно поступово підлаштовує ритми обох осциляторів, доки вони не заблокуються у синфазному або протифазному режимі — всю роботу виконує саме дифузний член зв'язку.
κ визначає, наскільки стан одного осцилятора впливає на прискорення іншого. При κ=0 вони розвиваються незалежно і розходяться по фазі; коли κ перевищує критичний поріг, показник |Δφ| стрімко наближається до нуля (або 180°), і індикатор синхронізації перемикається з "Не синхронізовано" на "Синфазно" або "Протифазно".
Синфазне блокування (|Δφ| < 15°) означає, що обидва осцилятори зростають і спадають разом, як два серця, що б'ються в унісон. Протифазне блокування (|Δφ| > 165°) означає, що вони чергуються, досягаючи піку саме тоді, коли інший — мінімуму; обидва є стійкими синхронізованими станами залежно від початкового зсуву фаз і зв'язку.
Динаміка ван дер Поля — стандартна спрощена модель для клітин-водіїв ритму серця, циркадних нейронів-водіїв ритму та спалахуючих нейронів. Зв'язування багатьох таких осциляторів разом — це те, як біологи пояснюють, чому мільйони незалежних клітин виробляють одне узгоджене серцебиття або єдиний 24-годинний циркадний ритм.