〰️ Фігури Ліссажу
Два коливання — одна гіпнотична крива. Змінюй частоти і спостерігай, як змінюється форма!
Два коливання — одна гіпнотична крива. Змінюй частоти і спостерігай, як змінюється форма!
Ця симуляція відображає фігуру Ліссажу — криву, яку описує точка під час поєднання двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань. Горизонтальне та вертикальне положення задаються формулами x(t) = A·sin(fxt + δ) та y(t) = B·sin(fyt), де fx і fy — кутові частоти, а δ — зсув фаз. Коли параметр t зростає, точка прокреслює замкнену криву, апроксимовану тут 1500 відрізками.
Повзунки задають Частоту X і Частоту Y (цілі числа від 1 до 10) та Фазу δ, а пресети переходять до класичних форм: вісімка, квітка, зірка, вузол. Меню кольорових схем і кнопка «Анімувати δ» безперервно змінюють фазу. Фігури Ліссажу з'являються на осцилографах для порівняння частот і фаз двох сигналів, а також застосовуються в акустиці, оптиці та аналізі механічних коливань.
Що таке фігура Ліссажу?
Фігура Ліссажу — це крива, яку описує точка, горизонтальний і вертикальний рух якої є двома незалежними синусоїдами, спрямованими під прямим кутом одна до одної. Форма залежить від співвідношення частот і різниці фаз. Назва походить від імені французького фізика Жюля Антуана Ліссажу.
Які рівняння використовує симуляція?
Точка рухається за формулами x(t) = A·sin(fxt + δ) та y(t) = B·sin(fyt). Тут fx і fy — частоти по осях X і Y, δ — фаза, а A і B — амплітуди, які в цій версії рівні й заповнюють квадратний полотно рівномірно.
Що роблять елементи керування?
Частота X і Частота Y задають кількість коливань кожної осі, повзунок Фази δ зсуває одну хвилю відносно іншої, а меню кольорів змінює стиль кривої. Кнопки пресетів завантажують відомі комбінації частот і фаз, а «Анімувати δ» плавно змінює фазу, змушуючи фігуру обертатися й трансформуватися.
Співвідношення fx:fy визначає загальну форму фігури, зокрема кількість пелюсток або петель вздовж кожної осі. Співвідношення 1:1 дає еліпси й прямі, тоді як 3:2 або 5:4 утворюють складніші переплетені узори. Що простіше співвідношення, то відкритіша форма.
Фаза δ зміщує коливання по осі X у часі відносно коливань по осі Y. При δ = 0 фігура 1:1 вироджується в діагональну пряму; при δ = π/2 вона розкривається в коло або еліпс. Для інших співвідношень фаза обертає й переформовує узор — саме тому анімація δ надає фігурі враження обертання.
Крива замикається в повторювану петлю, коли співвідношення частот є раціональним числом, тобто виражається дробом із цілих чисел. Оскільки симуляція обмежує обидві частоти цілими числами від 1 до 10, усі показані фігури є замкненими й періодичними. Ірраціональні співвідношення ніколи б не замкнулися й поступово заповнили б усю площину.
Так, математика тут точна: крива є справжнім суперпозицією двох синусоїд із вибраними частотами й фазою. Візуалізація спрощена однаковими амплітудами й дискретизацією шляху за 1500 кроками, але геометрія кожної кривої відповідає відповідним рівнянням.
Повзунок фази рухається від 0 до 628, а значення ділиться на 100 у коді — тобто фаза δ змінюється від 0 до приблизно 2π радіан (близько 6,28). Позначка переключається на зручні дроби, наприклад π/4, π/2 або π, коли значення наближається до них, інакше відображається десяткове число.
Подача двох сигналів на входи X і Y осцилографа утворює фігуру Ліссажу, форма якої розкриває співвідношення їхніх частот і зсув фаз. Інженери використовують це для синхронізації частот, вимірювання фазових зсувів і перевірки чистоти сигналу. Стабільна проста фігура вказує, що дві частоти зафіксовані у простому цілочисельному співвідношенні.
Окрім електроніки, криві Ліссажу виникають у зв'язаних механічних коливаннях, лазерних світлових шоу, гармонографах і стерео-індикаторах звуку. Вони також моделюють рух двовимірного гармонічного осцилятора, тому є поширеним прикладом у курсах фізики хвиль і коливань.
Кожен пресет завантажує пару частот і фазу, що дають впізнавану форму: Вісімка використовує співвідношення 1:2, Квітка — 3:2, Зірка — 5:4, а Вузол — 3:5. Це зручні відправні точки, які показують, як різні співвідношення породжують зовсім різні сімейства кривих.