Будь-яку замкнену криву на площині можна подати як суму обертових векторів — епіциклів — і саме так виглядає геометрична інтерпретація ряду Фур'є. Симуляція обчислює дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) координат намальованої або готової фігури, впорядковує отримані частоти за спаданням амплітуди й малює їх у вигляді ланцюжка кіл, нанизаних одне на одне. Найбільше коло задає грубу форму, а дедалі менші й швидші кола додають деталі. Саме на цьому принципі колись будувалася й астрономічна модель Птолемея.
Як довільна замкнена фігура розкладається на суму обертових кіл різного радіуса, частоти та фази — і як додавання кожного наступного епіцикла покроково уточнює намальовану траєкторію.
Оберіть режим «Готова фігура» (квадрат, зірка, серце, літера «R» або завитушка) чи «Намалювати власну» петлю мишею чи пальцем. Повзунком «Використано епіциклів» змінюйте кількість кіл у ланцюжку, повзунком «Швидкість анімації» — темп обертання, перемикачем — показ самих кіл. Кнопки дозволяють очистити/перемалювати, поставити на паузу чи скинути все до початкових значень.
Ідею «малювання колами» популяризував відомий випуск каналу 3Blue1Brown 2019 року — з тих пір цей прийом стали використовувати для анімації рукописних літер і навіть портретних контурів.
Комплексний ряд Фур'є подає траєкторію як суму доданків виду амплітуда, помножена на обертовий фазор на частоті, кратній основній. Кожен такий доданок — це коло, що обертається зі своєю швидкістю та радіусом. З'єднуючи такі кола «кінець у кінець» — кожне наступне обертається на кінчику попереднього — отримуємо саме той ланцюжок, який анімує ця симуляція. Коефіцієнти для кожного кола дає ДПФ вибірок намальованого контуру.
Для контуру, вибраного у певній кількості точок, ДПФ дає рівно стільки ж частотних складових, тож повний їх набір відтворює фігуру без похибки у вузлах вибірки. На практиці простим фігурам достатньо набагато менше: колу — одного епіцикла, квадрату — приблизно двадцяти (кутам відповідають непарні гармоніки), а складному контуру на кшталт портрета — кількох сотень.
Так — Птолемей у «Альмагесті» (близько 150 року) за допомогою епіциклів і деферентів передбачав положення планет із похибкою близько одного градуса, чого вистачало для спостережень неозброєним оком. Модель була геоцентричною й помилковою фізично, але математично еквівалентна скінченному наближенню Фур'є справжніх еліптичних орбіт — тож при достатній кількості кіл вона й справді відтворювала рух планет.
Явище Гіббса — це «викид» приблизно на дев'ять відсотків висоти стрибка, який виникає, коли ряд Фур'є наближає фігуру з різким кутом чи розривом, наприклад літеру «R» або зірку. Він не зникає зі збільшенням кількості епіциклів, а лише зсувається ближче до самого кута — у симуляції це видно як легке «дзвеніння» траєкторії біля гострих вершин.
Симуляція сортує епіцикли за спаданням радіуса — найбільше коло йде першим. Такий порядок найзручніший для сприйняття: великі кола формують загальний абрис фігури, а дрібніші й швидші додають тонкі деталі. Математично будь-який порядок дає той самий кінцевий контур — черговість впливає лише на вигляд проміжних кадрів анімації.