5-клітинник · 16-клітинник · 24-клітинник · подвійно-площинне 4D обертання · перспективна проєкція
Так само, як п'ять Платонових тіл є єдиними правильними многогранниками в 3D, існує рівно шість опуклих правильних політопів у 4-вимірному просторі. Цей симулятор рендерить три з них — 5-клітинник (4D аналог тетраедра, побудований з 5 тетраедричних клітин), 16-клітинник (побудований з 16 тетраедричних клітин, 4D аналог октаедра) і 24-клітинник (форма без прямого 3D аналога, побудована з 24 октаедричних клітин) — плюс, для повноти, 8-клітинник, або тесеракт, відомий гіперкуб, уже досліджений детальніше в іншому місці на цьому сайті. Кожна вершина — справжня 4D координата (x, y, z, w); ребра малюються лише між вершинами, які справді суміжні в реальній 4-вимірній структурі політопа.
4D об'єкт обертається одночасно у двох незалежних площинах, а не навколо єдиної "осі" — у 4D немає єдиної осі обертання, лише фіксована площина, яка залишається незмінною, поки все інше обертається. 24-клітинник — єдиний правильний 4D політоп без жодного 3D аналога: він самодвоїстий, і, що примітно, його можна побудувати повністю з ребер одиничного гіперкуба, тобто він ідеально вписується між тесерактом та його двоїстим, 16-клітинником. Те, що ви бачите на екрані, — це проєкція, двічі віддалена від реальності: 4D вершини перспективно діляться до 3D, а ця 3D тінь знову проєктується на 2D екран — точно так, як 3D каркасний куб відкидає плоску 2D тінь.
Цей симулятор обчислює справжні 4-вимірні координати вершин для 5-клітинника, 16-клітинника, 24-клітинника та 8-клітинника (тесеракта), обертає їх одночасно у двох незалежних площинах 4D обертання, а потім перспективно ділить через 3D до плоскої 2D канви — та сама техніка "тіні від тіні", що використовується для візуалізації будь-якого багатовимірного об'єкта на 2D екрані.
Вершини кожного політопа генеруються за точними формулами координат (перестановки малих цілих чисел або ортонормована проєкція 5-точкового симплекса). Ребра знаходяться вимірюванням кожної попарної відстані та з'єднанням лише пар зі справжньою мінімальною довжиною ребра, тож каркас комбінаторно правильний, а не наближений.
Виберіть політоп, потім використайте повзунки швидкості площини XY та площини ZW, щоб задати дві незалежні швидкості 4D обертання — зверніть увагу, вони можуть навіть обертатися в протилежних напрямках. Повзунок 4D відстані камери керує тим, наскільки сильно прихована координата w вигинає проєкцію. Пауза та Скинути кути дозволяють вивчити одну фіксовану орієнтацію.
24-клітинник не має жодного тривимірного відповідника — він унікальний серед усіх правильних політопів у будь-якій вимірності. Він також самодвоїстий: його власне співвідношення вершина-клітина дзеркально відображає само себе — властивість, яку в 3D поділяє лише тетраедр.
Правильний політоп — це узагальнення правильного многокутника (2D) або Платонового тіла (3D) на вищі вимірності: форма, побудована з ідентичних правильних клітин, що зустрічаються однаково в кожній вершині, ребрі та грані. Існує рівно шість опуклих правильних політопів у 4 вимірах, порівняно з п'ятьма Платоновими тілами в 3D і нескінченною кількістю правильних многокутників у 2D.
16-клітинник використовує всі перестановки знаків (1,0,0,0); 24-клітинник використовує всі перестановки знаків (1,1,0,0); 8-клітинник (тесеракт) використовує всі комбінації знаків (1,1,1,1). 5-клітинник будується проєктуванням п'яти рівновіддалених точок 5-вимірного симплекса на 4-вимірну гіперплощину, яку вони охоплюють, за допомогою ортонормалізації Грама-Шмідта, що дає п'ять точок, справді рівновіддалених у реальному 4D просторі.
Два кроки. Спочатку перспективний поділ з 4D у 3D: кожна вершина масштабується на відстань_камери / (відстань_камери мінус її координата w), точно як 3D перспективна камера ділить на глибину. Потім отримана 3D точка проєктується на 2D канву за допомогою звичайної 3D-у-2D перспективи, того самого методу, що використовується в інших 3D симуляціях цього сайту.
У 3D обертання відбувається навколо осі — прямої, яка залишається фіксованою. У 4D під час простого обертання фіксованою залишається ціла площина, і існує друга, незалежна площина (повністю ортогональна першій), у якій обертання може відбуватися одночасно та окремо. Ось чому ця симуляція має два повзунки швидкості замість одного.
Тесеракт (8-клітинник) — найвідоміший 4D правильний політоп, і він уже має власну спеціалізовану, детальнішу симуляцію на цьому сайті. Він включений і тут, поряд із менш відомими родичами, щоб ви могли порівняти кількість вершин, структуру ребер і поведінку обертання всіх чотирьох форм пліч-о-пліч, використовуючи той самий рушій.