💠 Тесеракт — 4D Гіперкуб

Тесеракт — це 4-вимірний аналог куба: він має 16 вершин, 32 ребра, 24 квадратних грані та 8 кубічних клітин. Щоб побачити його у 2D, застосовуємо два кроки проекції: 4D→3D (перспектива з точки W=5), потім 3D→2D. Перетягніть полотно, щоб обертати фігуру у площині XY. Повзунки керують усіма 6 незалежними площинами обертання 4D-простору. Вершини пофарбовані за координатою W (глибиною у 4-му вимірі). 🇬🇧 English

3D Обертання (тягніть полотно)

4D Обертання (W-площини)

Анімація

Проекція

Вершини16
Ребра32
Грані24
Клітини (куби)8

Як працює 4D обертання

У 4D-просторі обертання відбувається у площині, а не навколо осі. Існує C(4,2)=6 незалежних площин обертання: XY, XZ, XW, YZ, YW, ZW. Кожна параметризується кутом θ. Матриця обертання для площини XW — одинична, крім 2×2 блоку [cosθ, −sinθ; sinθ, cosθ] у рядках/стовпцях 0 та 3 (XYZW = індекси 0-3). Повільно змінюючи кут XW, ви бачите, як внутрішній куб «виростає» крізь зовнішній — точно так, як 2D тінь куба, що обертається, показує внутрішній квадрат, що розширюється крізь зовнішній.

Про цю симуляцію

Тесеракт — це 4D аналог куба: 16 вершин, 32 ребра, 24 квадратні грані та 8 кубічних комірок. Оскільки бачити в чотирьох вимірах неможливо, ця візуалізація застосовує 4D обертання до координат вершин, потім перспективну проекцію (з параметром відстані W) у 3D і, нарешті, на 2D полотно — той самий трюк, що й малювання тіні 3D куба на папері, лише з одним додатковим виміром, згорнутим спочатку.

🔬 Що показано

На відміну від 3D обертання (навколо осі), 4D обертання відбувається у площині. Існує C(4,2)=6 незалежних площин обертання — XY, XZ, YZ (звичайні 3D-подібні обертання) та XW, YW, ZW (справжні 4D обертання, що змішують четверту координату W у видиму геометрію). Кожна керується власним блоком 2×2 всередині матриці обертання 4×4.

🎮 Як користуватись

Тягніть полотно, щоб обертати площину XY напряму, або використовуйте шість повзунків (XY, XZ, YZ та 4D-повзунки XW, YW, ZW), щоб задати кожен кут окремо. Anim speed автоматично обертає всі площини разом; W distance керує силою ефекту перспективи 4D→3D; Reset повертає до початкової орієнтації.

💡 Чи знали ви?

Так само як 2D тінь обертового 3D куба показує внутрішній квадрат, що ніби набухає й стискається відносно зовнішнього, 3D "тінь" обертового тесеракта показує внутрішній куб, що росте крізь грані зовнішнього — візуальна ознака справжнього 4D обертання в площинах XW, YW чи ZW, а не звичайного 3D обертання.

Часті запитання

Чому 4D обертання використовує площини замість осей?

У 3D вісь обертання — це лінія, що лишається нерухомою під час обертання, але в 4D фіксація однієї лінії все одно лишає цілу 2D площину свободи, тож обертання визначаються площиною, що змішується, а не віссю, що лишається нерухомою. Тому в 4D існує рівно C(4,2)=6 незалежних площин обертання проти 3 у 3D.

У чому різниця між повзунками XY/XZ/YZ і XW/YW/ZW?

XY, XZ і YZ обертають фігуру так само, як звичайні 3D обертання, не торкаючись W. XW, YW і ZW — це "справжні" 4D обертання: вони змішують невидиму четверту координату W з X, Y чи Z, що й змушує спроєктовану фігуру вигинатись і вивертатись способами, неможливими для 3D об'єкта.

Що саме контролює повзунок W distance?

Він задає відстань перспективної проекції, що використовується для згортання 4D координати W у 3D, аналогічно тому, як відстань камери від 3D сцени впливає на перспективне скорочення. Більша W distance наближає проекцію до плаского (ортографічного) вигляду; менші значення підсилюють ефект 4D глибини.

Скільки вершин, ребер і граней у тесеракта?

Тесеракт має 16 вершин (кожна координата ±1 у чотирьох вимірах), 32 ребра, 24 квадратні грані та 8 кубічних комірок — за тим самим комбінаторним патерном, що й 8 вершин, 12 ребер і 6 граней куба, лише на один вимір вище.

Чому здається, що внутрішній куб росте крізь зовнішній?

Це проєктований ефект справжнього 4D обертання: коли тесеракт обертається у площині W, вершини, що були "далеко" в четвертому вимірі, стають "близькими", що перспективна проекція відображає як розширення внутрішнього куба крізь межу зовнішнього — реального перетину в 4D немає, лише в його 2D тіні.