Геодезичні · Перетягуйте точки, щоб побудувати гіперболічний багатокутник · Суми кутів < евклідових
Клацніть усередині диска, щоб додати точку (макс. 6). Перетягуйте наявні точки, щоб переміщувати їх.
Модель диска Пуанкаре представляє всю нескінченну гіперболічну площину всередині скінченного евклідового одиничного диска. У цій моделі гіперболічні "прямі лінії" (що звуться геодезичними) зображуються або як діаметри диска, або як дуги кіл, що перетинають граничне коло рівно під кутом 90° (перпендикулярно до нього). Для двох точок усередині диска унікальна геодезична, що проходить через них, знаходиться шляхом побудови кола через обидві точки, яке перетинає одиничне коло під прямим кутом — цей симулятор обчислює це коло безпосередньо за стандартною формулою інверсійної геометрії, а потім малює правильну дугу, а не наближає її прямою лінією.
Ця модель дає наочну картину порушення аксіоми паралельності Евкліда: для заданої геодезичної та точки поза нею існує нескінченно багато різних геодезичних через цю точку, які ніколи не перетинають першу ("паралельних" у сенсі відсутності перетину) — а не лише єдина унікальна паралельна лінія, яку гарантує евклідова геометрія. Гіперболічні трикутники, побудовані з трьох геодезичних сторін, також мають суми кутів строго менші за 180°, причому "відсутня" величина (кутовий дефект) зростає тим більше, чим більший трикутник, на відміну від евклідових трикутників, де сума кутів завжди точно дорівнює 180° незалежно від розміру.
Модель диска Пуанкаре популяризував Анрі Пуанкаре у 1880-х роках, але сама гіперболічна геометрія, що лежить в її основі, сягає незалежних робіт 1820-30-х років Яноша Бояї та Миколи Лобачевського, які показали, що існує повністю несуперечлива геометрія, у якій п'ята аксіома Евкліда просто не виконується. Голландський художник М. К. Ешер використав модель диска Пуанкаре (яку йому представив математик Г. С. М. Кокстер) як основу для своєї відомої серії гравюр "Границя кола", вкриваючи диск повторюваними, зменшуваними мотивами риб та ангелів/демонів, які всі є конгруентними фігурами у справжньому гіперболічному просторі, попри те, що виглядають дедалі меншими ближче до краю диска.
Цей симулятор реалізує модель диска Пуанкаре гіперболічної геометрії. Для будь-яких двох точок, розміщених усередині одиничного диска, він обчислює справжню геодезичну — дугу кола, перпендикулярну до граничного кола (або діаметр у виродженому випадку), — що з'єднує їх, використовуючи стандартну побудову з інверсійної геометрії, і показує суму кутів отриманого гіперболічного багатокутника, яка завжди менша за евклідове значення для тієї самої кількості сторін.
Для двох точок усередині одиничного диска унікальне коло, що проходить через них і перетинає одиничне коло під прямим кутом, знаходиться шляхом відображення однієї точки через одиничне коло (інверсія кола) та розв'язання рівняння кола через обидві початкові точки й інвертовану точку. Дуга цього кола між двома точками є справжньою гіперболічною геодезичною.
Клацніть усередині диска, щоб додати до 6 точок (перетягуйте, щоб переміщувати їх); послідовні точки з'єднуються геодезичними дугами, утворюючи гіперболічний багатокутник. Увімкніть евклідові лінії для порівняння та накладення мозаїки, щоб побачити наближену {7,3} або {5,4} гіперболічну теселяцію, показану як візуальний контекст, а не як точну мозаїку на основі перетворень Мебіуса.
Знамениті гравюри М. К. Ешера "Границя кола" використовують саме цю модель: повторювані фігури риб та ангелів/демонів зменшуються до краю диска лише за евклідовим виглядом — у самій гіперболічній геометрії, яку представляє модель, кожна повторювана фігура має точно однаковий розмір.
Геодезична — це гіперболічний еквівалент прямої лінії: найкоротший шлях між двома точками у гіперболічному просторі. У моделі диска Пуанкаре геодезичні зображуються як дуги кіл, що перетинають межу одиничного диска під прямим кутом, або як діаметри через центр у особливому випадку, коли таке перпендикулярне коло вироджується в пряму лінію.
Для двох точок усередині диска одну точку відображають через одиничне коло за допомогою інверсії кола (відображаючи точку на відстані r від центру у точку на відстані 1/r уздовж того самого променя). Коло, що проходить через дві початкові точки й цю інвертовану точку, автоматично перетинає одиничне коло під прямим кутом, а його дуга між двома початковими точками є геодезичною.
У гіперболічній геометрії сума внутрішніх кутів трикутника завжди строго менша за 180 градусів, причому нестачу називають кутовим дефектом, і більші трикутники мають більші дефекти. Цей патерн поширюється на багатокутники: сума кутів n-стороннього гіперболічного багатокутника завжди менша за евклідове значення (n-2), помножене на 180 градусів, що відображає від'ємну кривину простору.
Аксіома паралельності Евкліда стверджує, що через точку, яка не лежить на заданій прямій, можна провести рівно одну паралельну пряму. У гіперболічній геометрії через точку, яка не лежить на заданій геодезичній, можна провести нескінченно багато різних геодезичних, що ніколи не перетинають початкову, тому гіперболічну геометрію називають неевклідовою.
Це спрощена, геометрично правдоподібна апроксимація, побудована шляхом рекурсивного розміщення масштабованих і позиціонованих багатокутників за відомою комбінаторною структурою мозаїки {7,3} або {5,4}, а не повністю точне рекурсивне застосування групи гіперболічних відображень (перетворень Мебіуса). Вона покликана дати точне візуальне уявлення про те, як такі мозаїки зменшуються до межі, а не бути прецизійною математичною побудовою.