Пари п'ятикутників Типу 1 · Мозаїка у стилі Каїра (Тип 4) · Колір за орієнтацією · Панорамування канви
Правильний п'ятикутник має внутрішній кут рівно 108°, а 360° ÷ 108° = 3,33…, що не є цілим числом. Це означає, що неможливо щільно розмістити ціле число правильних п'ятикутників навколо однієї точки без прогалини чи накладання — тож самі по собі правильні п'ятикутники ніколи не можуть замостити площину, на відміну від рівносторонніх трикутників, квадратів і правильних шестикутників. З неправильними опуклими п'ятикутниками історія інша: математики виявили 15 відомих родин ("типів") опуклих п'ятикутників, які можуть монoедрально замостити площину (використовуючи лише конгруентні копії однієї форми). Кожна родина визначається набором обмежень на кути та/або довжини сторін. Цей симулятор рендерить дві справді без прогалин побудовані конструкції з реальних координат вершин: мозаїку Типу 1, де два п'ятикутники — один із яких є поворотом іншого на 180° — з'єднуються край до краю в паралелограм, що замощує площину лише перенесенням, і мозаїку у стилі Каїра ("Тип 4"), де квадратна клітина сітки розбивається на два точково-симетричні п'ятикутники, а кожна клітина незалежно повертається на кратне 90°, утворюючи знаменитий візерунок з чотирма п'ятикутниками навколо точки, відомий із каїрського вуличного мощення.
Майже 30 років після відкриття 14-го типу опуклого п'ятикутника для мозаїки у 1985 році математики гадали, чи список повний. Потім у 2015 році команда з Університету Вашингтона в Ботеллі — Кейсі Манн, Дженніфер Маклауд-Манн і Девід Фон Дерау — за допомогою комп'ютерного пошуку виявила справді новий, 15-й тип опуклого п'ятикутника, який замощує площину. Це відкриття потрапило у міжнародні новини як рідкісний, справжній прорив у дуже старій і, здавалося б, добре дослідженій області геометрії, і досі відкритим залишається питання, чи існують ще типи, чи 15 — це повний список.
Цей симулятор малює дві справді без прогалин мозаїки з опуклих п'ятикутників, обчислені як реальні координати вершин, а не як заздалегідь намальовані зображення. Кожна плитка будується розбиттям чотирикутника (паралелограма для Типу 1, квадрата для Типу 4 у стилі Каїра) на два п'ятикутники навколо його центральної точки, тож два п'ятикутники завжди складаються назад точно в початковий чотирикутник — а чотирикутники вже відомо замощують площину перенесенням, що й гарантує відсутність прогалин чи накладань будь-де на канві.
Тип 1 розбиває косий паралелограм на два п'ятикутники, один із яких є поворотом іншого на 180° навколо центру паралелограма; пара потім замощує площину перенесенням уздовж двох векторів сторін паралелограма. Тип 4 виконує той самий розподіл на квадраті, а потім повертає кожну клітину сітки незалежно на 0°, 90°, 180° або 270°, утворюючи чотиристоронній візерунок, що спостерігається у справжній каїрській п'ятикутній мозаїці.
Виберіть Тип п'ятикутника, перетягніть повзунок Розмір п'ятикутника для зміни масштабу та перемикайте Відображення між заповненим кольором, лише контуром або кольором за орієнтацією, щоб побачити окремі класи повороту, підсвічені різними кольорами. Перетягніть канву для панорамування, натисніть Перемалювати для оновлення або Скинути вигляд для повернення в центр.
15-й і (поки що) найновіший тип опуклого п'ятикутника для мозаїки був відкритий у 2015 році командою Університету Вашингтона в Ботеллі за допомогою комп'ютерного пошуку, що завершило майже 30-річну паузу після відкриття 14-го типу в 1985 році. Досі відкрите питання, чи існують ще типи.
Ні. Внутрішній кут правильного п'ятикутника дорівнює 108°, а 360°, поділене на 108°, приблизно 3,33 — не ціле число. Неможливо розмістити ціле число правильних п'ятикутників навколо однієї точки без прогалини або накладання, тож правильні п'ятикутники не можуть самостійно замостити площину.
Неправильні опуклі п'ятикутники мають більше свободи: їхні п'ять кутів і п'ять довжин сторін не обов'язково всі рівні, тож можна спроєктувати форму, кути якої правильно складаються навколо кожної вершини мозаїки. Математики знайшли 15 окремих родин опуклих п'ятикутників, кожна з яких визначається власним набором обмежень на кути чи сторони, що замощують площину, використовуючи лише копії однієї форми.
П'ятикутники Типу 1 характеризуються тим, що два їхні кути в сумі дають 180°. Ця умова "розгорнутого кута" дозволяє п'ятикутнику та його копії, поверненій на 180°, з'єднуватися край до краю по прямій лінії, тож пара утворює паралелограм, який потім замощує площину простим перенесенням — саме так, як цей симулятор його будує.
Вона будується так само, як Тип 1 — розбиттям чотирикутника на два точково-симетричні п'ятикутники — але починаючи з квадрата замість косого паралелограма, і повертаючи кожну клітину сітки незалежно на кратне 90°. Оскільки квадрат відображається сам на себе при будь-якому повороті на 90° навколо свого центру, кожна клітина все ще точно вписується у свою клітину сітки, тож мозаїка залишається без прогалин, утворюючи візерунок з чотирма п'ятикутниками навколо багатьох вершин, що нагадує справжнє каїрське п'ятикутне мощення.
Так. Кейсі Манн, Дженніфер Маклауд-Манн і Девід Фон Дерау з Університету Вашингтона в Ботеллі знайшли його за допомогою комп'ютерного пошуку можливих комбінацій кутів і сторін, і це широко висвітлювалося як справжнє математичне відкриття. Воно відбулося після майже 30-річної паузи після відкриття 14-го типу в 1985 році, і досі невідомо, чи класифікація опуклих п'ятикутників для мозаїки тепер повна.