Один з найвідоміших контрінтуїтивних парадоксів теорії ймовірностей: зміна вибору після розкриття двері з козою виграє двічі з трьох.
Коли ви обираєте двері #1 (ймовірність виграшу 1/3), дві інші двері разом мають ймовірність 2/3. Коли ведучий відкриває програшну двері, вся ймовірність 2/3 «переходить» на єдині закриті двері — тому зміна виграє з ймовірністю 2/3. Це приклад умовної ймовірності та байєсівського оновлення: нова інформація (відкрита двері) змінює розподіл ймовірностей.
У ручному режимі: оберіть двері, спостерігайте, як ведучий розкриває козу, вирішіть змінити чи залишитись. В авто-режимі: виберіть стратегію та швидкість — симулятор запускає тисячі раундів на секунду. Спостерігайте, як «Зміна виграє %» конвергує до 66,7 %, а «Залишитись виграє %» — до 33,3 %.
Задачу Монті Холла сформулював Стів Сельвін у 1975 р. і популяризувала Меріліт вос Савант у 1990 р. Її правильна відповідь — змінити — викликала тисячі листів із запереченнями (у тому числі від PhD). Навіть Пол Ердьош спочатку відмовлявся вірити відповіді, поки не побачив комп'ютерну симуляцію. Парадокс названо на честь ведучого телешоу «Let's Make a Deal».
Ця симуляція відтворює класичну задачу Монті Холла: авто ховається за одними з трьох дверей, ви обираєте одні, а потім ведучий відкриває інші двері, показуючи козу, перш ніж запропонувати вам можливість змінити вибір. Вона моделює гру точно — вибори та призи розподіляються рівномірно випадково, а ведучий завжди відкриває лише програшні двері, які може обрати, — і дозволяє перевірити відому закономірність, що зміна виграє у двох випадках із трьох. Запуск тисяч раундів показує, як емпіричні частки збігаються за законом великих чисел.
Вона демонструє, як працюють умовна ймовірність та байєсівське оновлення. Ваші перші двері мають шанс 1/3; коли ведучий відкриває двері з відомою козою, решта 2/3 переходять на єдині інші невідкриті двері. В авто-режимі вона фіксує результати як стратегії «завжди змінювати», так і «завжди залишатися» для кожного випадкового раунду, тож відсотки перемог збігаються до теоретичних 66,67% та 33,33%.
Натисніть кнопку «Вручну», щоб зіграти раунд: клацніть на двері (А, Б або В), подивіться, як відкриється коза, потім натисніть «Змінити» або «Залишити». Кнопка «Авто» запускає експеримент безперервно; повзунок швидкості задає темп від 1 до 10 000 раундів на секунду. Панель статистики та графік збіжності відстежують частки перемог зміни та залишення наживо, а «Скинути» обнуляє всі лічильники.
Задачу популяризувала Меріліт вос Савант у 1990 році, чия правильна відповідь зібрала близько 10 000 листів із запереченнями, багато з яких — від людей зі ступенем доктора наук. Математик Пол Ердьош, за переказами, залишався непереконаним, поки не побачив комп'ютерну симуляцію, дуже схожу на цю.
Це задача з теорії ймовірностей, заснована на телевізійному ігровому шоу. Приз знаходиться за одними з трьох дверей; ви обираєте одні, ведучий відкриває інші двері, щоб показати козу, і ви можете залишити свої двері або змінити їх на останні. Контрінтуїтивний результат полягає в тому, що зміна виграє приблизно у двох випадках із трьох, а не у половині.
Ваш початковий вибір має шанс 1 із 3 бути правильним, тож існує шанс 2 із 3, що авто знаходиться серед двох інших дверей. Оскільки ведучий завжди показує козу, уся ця ймовірність 2/3 концентрується на єдиних невідкритих дверях, що залишилися. Тому зміна виграє щоразу, коли ваше перше припущення було хибним, а це трапляється у двох випадках із трьох.
Ручний режим дозволяє грати по одному раунду за раз, клацаючи на двері, а потім обираючи «Змінити» або «Залишити». Авто-режим запускає експеримент автоматично, а повзунок швидкості перемикає 1, 5, 20, 100, 500, 2000 та 10 000 раундів на секунду. Панель статистики показує загальну кількість раундів, а також кількість перемог і відсотки для обох стратегій, тоді як «Скинути» обнуляє все.
Так. Кожен раунд розміщує авто та ваш вибір рівномірно випадково, а ведучий відкриває лише ті двері, що не є ні вашим вибором, ні авто. В авто-режимі вона оцінює і зміну, і залишення на тому самому випадковому розташуванні, тож виміряні відсотки є чесною оцінкою методом Монте-Карло, що збігається до точних значень 2/3 та 1/3.
Вона є вирішальною. Перевага 2/3 діє лише тому, що ведучий знає, де авто, і навмисно уникає його, відкриваючи двері. Якби ведучий відкривав двері навмання і просто випадково показав козу, зміна та залишення вигравали б порівну, тож саме обізнана поведінка ведучого створює цей перекіс.