Траєкторії польоту (змінюйте масштаб)
Розподіл довжин кроків — лог-лог шкала (степеневий хвіст)
Ця симуляція генерує довжини кроків випадкового блукання із симетричного α-стійкого (Леві) розподілу за допомогою алгоритму Мантеньї, тож розмір кожного стрибка блукача підпорядковується степеневому хвосту P(l) ∝ l−(1+α) замість тонкохвостих гаусових кроків звичайного броунівського руху. Перетягування показника стійкості α від 2,0 до 1,05 перетворює блукання з плавної, рівномірної дифузії на справжню поведінку польоту Леві: довгі відрізки з дрібних кроків, перервані рідкісними, величезними стрибками. Живий лог-лог гістограма довжин кроків показує формування степеневого хвоста в реальному часі, поруч із червоною референсною лінією теоретичного нахилу −(1+α).
До 8 незалежних блукачів рухаються у 2D-просторі, довжина кожного кроку обчислюється через алгоритм Мантеньї (відношення двох гаусових величин, піднесене до степеня 1/α), а напрямок кожного кроку обирається рівномірно випадково. Полотно траєкторій показує шлях кожного блукача; полотно розподілу групує кожну зафіксовану довжину кроку в лог-лог шкалі, тож пряма лінія хвоста підтверджує степеневу поведінку, передбачену для α < 2.
Перетягуйте повзунок Показник стійкості α (1,05–2,0), щоб перейти між важкохвостим польотом Леві та звичайним броунівським рухом — при α=2,0 генератор перемикається на простий гаусів (Бокс–Мюллер) розподіл. Блукачів визначає, скільки незалежних шляхів малюється одночасно, Кроків за кадр контролює швидкість симуляції, а Масштаб масштабує вигляд траєкторії польоту. Три кнопки пресетів переходять одразу до α=1,2 (сильний Леві), α=1,5 (середній) і α=2,0 (броунівський) для швидкого порівняння.
Статистику польоту Леві запропонував Гонсало Вісванатан із колегами у 1990-х як модель того, як альбатроси, акули та інші хижаки шукають рідкісну, розпорошену здобич — стратегію, яка виявилася ефективнішою за звичайний броунівський пошук, коли ресурсів мало. Та сама важкохвоста статистика трапляється у стрибках цін на фінансових ринках і в деяких моделях мобільності людини.
Політ Леві — це випадкове блукання, довжини кроків якого беруться із важкохвостого степеневого розподілу P(l) ∝ l−(1+α) з показником стійкості α між 0 і 2, а не з гаусового розподілу. Оскільки хвіст спадає повільно, рідкісні, але надзвичайно великі стрибки набагато ймовірніші, ніж у броунівському русі, де розміри кроків щільно скупчені навколо середнього значення, а величезні стрибки практично неможливі. Встановлення α=2,0 в цій симуляції перемикає генератор кроків на звичайну гаусову вибірку, відтворюючи стандартний броунівський рух як окремий випадок.
Вона використовує алгоритм Мантеньї — практичний числовий метод вибірки із симетричного α-стійкого розподілу без потреби в громіздкій замкнутій формулі густини цього розподілу. Генеруються дві нормальні випадкові величини u і v, u масштабується множником σ, обчисленим через гамма-функції від α, а довжина кроку дорівнює l = u·σ / |v|^(1/α). Це дає вибірки, хвіст яких асимптотично підпорядковується правильному степеневому закону l−(1+α) для будь-якого α в (0,2), що підтверджує живий лог-лог гістограма в симуляції.
α визначає, наскільки важким є хвіст розподілу довжин кроків: менше α (близько 1,05) дає дуже важкі хвости й часті екстремальні стрибки — справжній політ Леві, тоді як α близько 2,0 дає тонкохвостий, майже гаусів розподіл, невідрізнюваний від броунівського руху. Показник хвоста, показаний у панелі статистики як β, дорівнює 1+α, що відповідає показнику степеня в формулі P(l) ∝ l−(1+α), на якій побудована симуляція.
При високому α (близько 2,0) блукач робить багато схожих за розміром кроків, утворюючи компактну, хмароподібну траєкторію, типову для дифузійного броунівського руху. При низькому α (близько 1,05) більшість кроків лишаються малими, але час від часу блукач робить стрибок на порядки більший за решту, миттєво переміщуючись далеко від попереднього скупчення кроків — візуально це виглядає як щільні згустки коротких відрізків, з'єднаних кількома довгими прямими лініями, характерний вигляд справжнього польоту Леві.
Спочатку статистику польоту Леві використовували для опису певних фізичних процесів дифузії, але згодом дослідники виявили ті самі важкохвості патерни кроків у траєкторіях пошуку їжі альбатросами, акулами та іншими хижаками, що шукають розпорошену здобич, оскільки суміш багатьох коротких і зрідка довгих стрибків досліджує територію ефективніше за чистий броунівський рух. Подібна степенева статистика також трапляється в даних про мобільність людини, деяких моделях стрибків цін на фінансових ринках і в патернах поширення деяких хвороб.