Цей симулятор демонструє два фундаментальних принципи теорії ймовірностей. У режимі ЗВЧ програма багаторазово відбирає незалежні значення з обраного розподілу і будує графік поточного середнього X̄ залежно від кількості спроб N, показуючи, як воно збігається до істинного математичного сподівання μ. У режимі ЦГТ симулятор багаторазово генерує набори з n значень, обчислює середнє кожного набору та будує гістограму цих вибіркових середніх, яка наближається до нормальної кривої N(μ, σ²/n) незалежно від форми початкового розподілу.
Кнопки режиму перемикають між виглядом збіжності та розподілом вибіркових середніх. Меню «Експеримент» дозволяє вибрати початковий розподіл (рівний d6, d4, рівна або зміщена монета, експоненціальний λ=1, бімодальний, рівномірний) — кожен із відомими μ та σ. Повзунок розміру вибірки n для ЦГТ (2–100) задає кількість значень у кожному наборі, а кнопки швидкості (×1 до ×1k) визначають, скільки спроб виконується за кадр. Ці теореми є основою опитувань, контролю якості та будь-яких висновків на базі вибіркових середніх.
Що таке закон великих чисел?
Закон великих чисел стверджує, що чим більше незалежних спостережень ви берете з деякого розподілу, тим ближче середнє цих спостережень наближається до істинного математичного сподівання μ. У режимі ЗВЧ ви бачите, як лінія поточного середнього поступово осідає на пунктирній лінії μ зі зростанням числа спроб N.
Що таке центральна гранична теорема?
Центральна гранична теорема стверджує, що середнє з n незалежних однаково розподілених значень з будь-якого розподілу зі скінченними середнім і дисперсією є приблизно нормально розподіленим із середнім μ і дисперсією σ²/n. У режимі ЦГТ гістограма вибіркових середніх набуває форми дзвона навіть тоді, коли початковий розподіл скошений або бімодальний.
Для чого слугують елементи керування?
Кнопки режиму перемикають між збіжністю ЗВЧ і розподілом вибіркових середніх у ЦГТ. Меню «Експеримент» обирає початковий розподіл, повзунок n (від 2 до 100, лише для ЦГТ) встановлює кількість значень у кожному наборі для обчислення вибіркового середнього, а кнопки швидкості задають кількість спроб за кадр анімації.
Можна обрати рівний шестигранний кубик (μ=3,5), чотиригранний кубик (μ=2,5), рівну монету (μ=0,5), зміщену монету з p=0,3 (μ=0,3), експоненціальний розподіл із λ=1 (μ=1), бімодальну суміш при ±3 (μ=0) та рівномірний розподіл на [0,1] (μ=0,5). Кожен розподіл має відомі середнє і стандартне відхилення, що використовуються для теоретичних накладень.
Стандартна похибка вибіркового середнього дорівнює σ/√n, де σ — стандартне відхилення початкового розподілу, а n — розмір вибірки. Панель відображає це значення в реальному часі: саме воно пояснює, чому гістограма ЦГТ стає вужчою зі збільшенням n і чому смуга ±σ/√N у режимі ЗВЧ звужується з накопиченням спроб.
Затінена смуга навколо μ у режимі ЗВЧ є довірчою областю ±σ/√N, а зовні неї — слабша смуга ±2σ/√N. Оскільки ширина зменшується обернено пропорційно кореню квадратному з N, щоб удвічі звузити смугу, потрібно учетверити кількість спроб: саме тому точність зростає повільно з додаванням даних.
Так. Кожна вибірка генерується за допомогою псевдовипадкових чисел JavaScript, перетворених відповідно до обраного розподілу: наприклад, метод оберненого перетворення для експоненціального та метод Бокса–Мюллера для гауссівського шуму у бімодальному розподілі. Теоретичні значення μ, σ та нормальні накладення обчислюються точно, тому емпіричні гістограми і поточні середні відповідають справжній теорії ймовірностей.
Так, і в цьому полягає її вражаючий сенс. Спробуйте експоненціальний або бімодальний розподіл: окремі значення сильно відрізняються від нормального, проте гістограма вибіркових середніх все одно наближається до форми дзвона зі зростанням n. ЦГТ вимагає лише скінченних середнього і дисперсії — нормальний початковий розподіл не потрібен.
Для приблизно симетричних розподілів вибіркові середні мають нормальний вигляд уже при n близько 10. Для сильно скошених розподілів, таких як експоненціальний, зазвичай потрібне більше n (30 і вище), перш ніж гістограма переконливо нагадує дзвін. Збільшуйте повзунок n і порівнюйте, наскільки швидко утворюється форма дзвона для різних експериментів.
ЗВЧ стосується одного зростаючого середнього: він говорить, що поточне середнє збігається до μ. ЦГТ стосується розподілу багатьох окремих середніх: вона описує, як ці середні розподілені навколо μ. ЗВЧ пояснює, чому велика вибірка є точною; ЦГТ пояснює форму і ширину похибки навколо цієї оцінки.
Разом ці результати є основою більшості статистичних висновків. Соціологічні опитування, A/B-тестування, контроль якості у виробництві, об'єднання страхових ризиків і метод Монте-Карло — усе це ґрунтується на збіжності вибіркових середніх до істини та на нормальному наближенні для побудови довірчих інтервалів і перевірки гіпотез на скінченних даних.