BGK оператор зіткнень · Вихрова доріжка Кармана · Малювання перешкод
Цей симулятор реалізує решітковий метод Больцмана (LBM) зі схемою D2Q9 — мезоскопічний підхід до обчислювальної гідродинаміки. Замість прямого розв'язання рівнянь Нав'є-Стокса, LBM відстежує функції розподілу ймовірностей фіктивних частинок, що потокують і зіштовхуються на регулярній решітці. Оператор зіткнень BGK (Бхатнагар-Гросс-Крук) з єдиним часом релаксації наближує розподіли до рівноважного стану Максвелла-Больцмана. Макроскопічні величини — густина ρ та швидкість u — природно виникають із моментів розподілу.
Вихрова доріжка Кармана відповідальна за «спів» проводів ЛЕП на вітрі, коливання високих димових труб і навіть хмарні візерунки, видимі на супутникових знімках позаду островів. Теодор фон Карман вперше описав це явище математично у 1911 році. В LBM такий візерунок виникає спонтанно, коли число Рейнольдса перевищує ~47 — без жодних спеціальних граничних умов.
Ця симуляція моделює двовимірний потік рідини за допомогою методу ґраткового Больцмана (LBM) на ґратці D2Q9, де кожна комірка зберігає дев'ять функцій розподілу частинок, що поширюються вздовж дискретних напрямків. Замість прямого розв'язання рівнянь Нав'є-Стокса вона розвиває ці розподіли через повторювані кроки поширення та зіткнення. Зіткнення BGK з одним часом релаксації наближає розподіли до рівноваги Максвелла-Больцмана, а макроскопічні густина й швидкість постають як моменти розподілів.
Повзунок в'язкості задає час релаксації через tau = 3 nu + 0.5, керуючи турбулентністю; повзунок вхідної швидкості розганяє потік від лівого краю; а повзунок пензля визначає розмір перешкод, які ви малюєте кліком по полотну. Тверді комірки використовують відбивні межі (bounce-back), тож типовий циліндр породжує вихрову доріжку Кармана, щойно число Рейнольдса стає достатньо високим. LBM лежить в основі реальних інженерних CFD-розрахунків для пористих середовищ, аеродинаміки та мікрофлюїдики.
Що таке метод ґраткового Больцмана?
Це методика обчислювальної гідродинаміки, яка відстежує функції розподілу частинок на регулярній сітці замість прямого розв'язання рівнянь Нав'є-Стокса. Частинки поширюються до сусідніх комірок, а потім зіштовхуються, наближаючись до локальної рівноваги. Усереднення розподілів відновлює звичні характеристики рідини, як-от густину та швидкість.
Що означає D2Q9?
D2Q9 описує геометрію ґратки: два виміри (D2) з дев'ятьма дискретними напрямками швидкості (Q9). Це стан спокою, чотири рухи вздовж осей і чотири діагональні рухи, кожен з вагою 4/9, 1/9 або 1/36. Цей набір із дев'яти швидкостей є стандартним вибором для точних двовимірних LBM-симуляцій.
Як працюють кроки поширення та зіткнення?
На кроці поширення кожна функція розподілу зміщується на одну комірку вздовж свого напрямку швидкості. На кроці зіткнення популяції в кожній комірці наближаються до своїх рівноважних значень за допомогою оператора BGK. Ця симуляція виконує десять таких підкроків на кожен кадр анімації, тож потік розвивається плавно в реальному часі.
В'язкість задає час релаксації через tau = 3 nu + 0.5, який визначає, як швидко розподіли повертаються до рівноваги. Повзунок охоплює приблизно від 0.002 до 0.080 у ґраткових одиницях. Зниження в'язкості підвищує число Рейнольдса й дає більш турбулентний, насичений вихорами потік; її підвищення згладжує рух до ламінарного.
Число Рейнольдса — це відношення інерційних сил до в'язких, яке передбачає, чи буде потік ламінарним або турбулентним. Тут воно обчислюється як Re = вхідна швидкість, помножена на характерну довжину, поділена на в'язкість. Понад приблизно 47 циліндр починає скидати вихори, а вищі значення дають повністю розвинену вихрову доріжку Кармана.
Комірки, які ви замальовуєте пензлем, стають твердими бар'єрами, позначеними в сітці. Вони використовують граничну умову відбивання (bounce-back): будь-який розподіл, що приходить у тверду комірку, відбивається назад у протилежному напрямку. Це реалізує стінку без проковзування, тож рідина не може пройти крізь неї й натомість обтікає намальовану вами форму.
Модуль швидкості забарвлює кожну комірку за швидкістю потоку, використовуючи мапу, подібну до viridis. Завихреність показує ротор поля швидкості на дивергентній шкалі синій-білий-червоний, виділяючи обертання за й проти годинникової стрілки. Густина відображає локальну густину рідини відносно її базового рівня одиниці, виявляючи хвилі стиснення та розрідження.
Вона відтворює правильну якісну фізику нестисливого потоку, зокрема скидання вихорів, частоту Струхаля сліду та залежність від числа Рейнольдса. Однак це освітня модель у реальному часі в ґраткових одиницях з одним часом релаксації та помірною сіткою, тож вона не замінює перевірених, високороздільних дослідницьких розв'язувачів.
За тупим тілом потік стає нестійким понад критичним числом Рейнольдса, і малі збурення розростаються в почергові вихори, що скидаються з кожного боку. LBM відтворює це природно, бо дискретна динаміка вже містить потрібну нелінійність. Жодного спеціального примусу не потрібно; візерунок постає спонтанно, щойно в'язкість стає достатньо низькою.
LBM широко застосовується в інженерії для аеродинаміки, автомобільних та аерокосмічних потоків, кровотоку в артеріях, течії крізь пористу породу й ґрунт, а також у мікрофлюїдних пристроях. Його локальність робить його добре придатним для паралельних та GPU-обчислень, а комерційні розв'язувачі використовують його для складних геометрій, незручних для традиційних сіткових методів.