Поділ золотого прямокутника · φ = 1.6180339887… · Наближення Фібоначчі
Золотий перетин φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887 — це єдине додатне число, що задовольняє рівність φ = 1 + 1/φ. Починаючи із золотого прямокутника — такого, чиї сторони відносяться як φ : 1 — можна відрізати квадрат з одного кінця, і залишок знову буде меншим золотим прямокутником, подібним до початкового. Повторюючи це нескінченно, отримуємо вкладену послідовність квадратів, а проведення дуги чверті кола крізь кожен квадрат дає наближення справжньої золотої спіралі — логарифмічної спіралі з полярним рівнянням r = a·φ2θ/π, яка зростає в φ разів кожну чверть оберту.
Золотий перетин тісно пов'язаний із послідовністю Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …), де кожне число є сумою двох попередніх: відношення послідовних чисел Фібоначчі коливається навколо φ і збігається до нього в міру зростання послідовності. Цей симулятор дозволяє порівняти точну золоту спіраль із наближенням за послідовністю Фібоначчі, побудованим із цілочисельних розмірів квадратів, яке наближається до справжньої спіралі лише в границі.
Присутність золотого перетину в природі та мистецтві часто перебільшують. Твердження, що Парфенон, Велика піраміда чи «ідеальне» людське тіло навмисно спроєктовані на основі φ, здебільшого є сучасними «підгонками заднім числом» без надійних історичних підтверджень, а численні накладені «золоті спіралі» на зображеннях мушель, ураганів чи галактик у популярних публікаціях — це грубі наближення, підібрані заднім числом, а не виміряні точні відповідності. Що дійсно правда: φ точно з'являється в геометрії правильного п'ятикутника та пентаграми (відношення діагоналі до сторони дорівнює φ), у деяких філотаксичних (розташування листків і насіння) візерунках, наближених спіралями, подібними до Фібоначчі, у соняшниках і соснових шишках, і, звісно, у чистій алгебрі самої послідовності Фібоначчі.
Цей симулятор малює класичний поділ золотого прямокутника — прямокутник, який раз у раз розбивається на квадрат і менший подібний прямокутник — разом зі спіраллю, проведеною крізь квадрати. Ви можете порівняти математично точну золоту спіраль, побудовану безпосередньо зі степенів φ, із наближенням за послідовністю Фібоначчі, побудованим із цілочисельних розмірів квадратів 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…, яке збігається зі справжньою спіраллю лише в міру зростання послідовності.
Довжина сторони кожного квадрата — це або точний степінь φ (режим справжньої золотої спіралі), або чергове число Фібоначчі (режим наближення Фібоначчі). Усередині кожного квадрата малюється дуга чверті кола, і послідовні дуги з'єднуються в неперервну спіраль. Панель статистики показує відношення двох останніх розмірів квадратів, яке дорівнює точно φ у золотому режимі й лише наближається до φ у режимі Фібоначчі.
Встановіть повзунок Квадрати (2–15), щоб визначити, скільки вкладених квадратів малювати. Перемкніть Наближення Фібоначчі, щоб змінити режим визначення розмірів квадратів. Перемикайте Показати квадрати та Показати підписи відношення для деталізації анотацій і увімкніть Анімувати ріст, щоб побачити, як побудова формується крок за кроком.
Багато популярних тверджень про те, що золотий перетин навмисно закладали у відомі твори мистецтва, будівлі чи «ідеальні» пропорції тіла, не мають надійного історичного підтвердження — це часто сучасний пошук збігів заднім числом. Справжні, доказові прояви φ мають математичну природу: у відношенні діагоналі до сторони правильного п'ятикутника, у неперервних дробах і в граничному відношенні послідовних чисел Фібоначчі.
Золотий перетин φ — це додатний розв'язок рівняння φ = 1 + 1/φ, або, що еквівалентно, φ² = φ + 1. Розв'язуючи це квадратне рівняння, отримуємо φ = (1 + √5) / 2 — ірраціональне число, що приблизно дорівнює 1,6180339887.
Якщо відрізати найбільший можливий квадрат від золотого прямокутника, завжди залишається менший прямокутник із тим самим співвідношенням сторін φ:1. Повторюючи це нескінченно, отримуємо нескінченну послідовність зменшуваних, повернутих квадратів, а плавна дуга чверті кола, проведена крізь кожен із них, наближає справжню логарифмічну золоту спіраль.
Справжня золота спіраль масштабується рівно на φ кожну чверть оберту, використовуючи неперервні степені φ для розмірів квадратів. Натомість наближення Фібоначчі використовує цілочисельну послідовність Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) для розмірів квадратів; відношення послідовних чисел Фібоначчі лише наближається до φ у міру зростання послідовності, тож перші квадрати в режимі Фібоначчі помітно менш «золоті», ніж у справжній спіралі.
Рідше, ніж зазвичай стверджують. Хоча схожі на Фібоначчі спіральні візерунки справді трапляються у філотаксисі (наприклад, у голівках соняшника чи лусочках соснових шишок) як наслідок оптимальних кутів росту для щільного пакування, багато популярних тверджень про навмисне використання золотого перетину в конкретних історичних будівлях, картинах чи пропорціях тіла не мають надійних документальних підтверджень і здебільшого є сучасними «підгонками заднім числом».
Якщо поділити рекурентне співвідношення Фібоначчі F(n) = F(n-1) + F(n-2) на F(n-1), отримаємо F(n)/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1). Зі зростанням n це відношення прямує до нерухомої точки r, що задовольняє r = 1 + 1/r, — а це саме визначальне рівняння золотого перетину.