Розподіляйте кванти енергії між квантовими гармонічними осциляторами і
підраховуйте мікростани. Симуляція випадково вибирає конфігурації, будує
гістограму енергій і показує, як ентропія S = k·ln W виникає з
підрахунку доступних мікростанів.
W = (N+q-1)! / ((N-1)! · q!)
S = k·ln W
⟨ε⟩ = q/N · ε₀
P(ε) ∝ e-ε/(kT)
Статистична механіка
У мікроканонічному ансамблі кожен мікростан
(конкретний розподіл квантів енергії між N осциляторами) має однакову
ймовірність. Кількість способів розподілити q нерозрізнених квантів
між N розрізненими осциляторами: W = C(N+q−1, q) =
(N+q−1)!/((N−1)!·q!). Ентропія Больцмана S = k·ln W
зростає з N та q. Найімовірніший розподіл — той, що спостерігається
макроскопічно — є
розподілом Больцмана P(εi) ∝
exp(−εi/kT), який виникає природно з випадкової вибірки
навіть без апріорного припущення.
Про ансамбль Гіббса / статистичну механіку
Канонічний ансамбль Гіббса — це базова концепція статистичної механіки для опису термодинамічної системи в тепловій рівновазі з тепловим резервуаром при температурі T. Замість того щоб відстежувати точний мікроскопічний стан системи (яка має 10²³ ступенів вільності), підхід ансамблю розглядає всі можливі мікростани, зважені фактором Больцмана e^(-E/kT), де E — енергія мікростану, k — стала Больцмана, а T — абсолютна температура. Статистична сума Z = Σ e^(-Eᵢ/kT) підсумовує всі мікростани й містить усю термодинамічну інформацію.
Зі статистичної суми випливають усі термодинамічні величини: середня енергія ⟨E⟩ = -∂(ln Z)/∂β (де β=1/kT), ентропія S = k(ln Z + β⟨E⟩), вільна енергія Гельмгольца F = -kT ln Z та теплоємність C = ∂⟨E⟩/∂T. Розподіл Максвелла-Больцмана швидкостей молекул, розподіл Планка для випромінювання абсолютно чорного тіла, а також статистики Бозе-Ейнштейна і Фермі-Дірака для квантових частинок — усе це виникає із застосування методу ансамблю до різних типів систем. Ансамблевий підхід забезпечує строгу статистичну основу всієї класичної та квантової термодинаміки.
Цей симулятор візуалізує розподіли енергії в малій системі (наприклад, гармонічних осциляторах чи дворівневих системах) при зміні температури, показуючи ймовірність заселеності кожного енергетичного рівня відповідно до розподілу Больцмана. Ти можеш побачити, як за низької T домінує основний стан, а за високої T всі стани стають майже однаково заселеними, а також спостерігати виникнення фазових переходів у моделях із багатьма взаємодіючими одиницями.
Часті запитання
Що таке фактор Больцмана і що він означає фізично?
Фактор Больцмана e^(-E/kT) дає відносну ймовірність знайти систему в мікростані з енергією E при температурі T. Стани з вищою енергією експоненційно менш імовірні за стани з нижчою енергією. При низькій T заповнені переважно лише низькоенергетичні стани; при високій T експонента стає пологішою, і багато станів стають майже однаково доступними. Відношення ймовірностей для двох станів дорівнює e^(-(E₂-E₁)/kT) — воно експоненційно спадає з різницею енергій відносно теплової енергії kT. Цей фундаментальний результат лежить в основі швидкостей хімічних реакцій (рівняння Арреніуса), профілів атмосферного тиску та інверсії заселеності електронних рівнів у лазерах.
У чому різниця між мікроканонічним, канонічним і великим канонічним ансамблями?
Мікроканонічний ансамбль описує ізольовану систему з фіксованою енергією E, об'ємом V та числом частинок N — підходить для абсолютно ізольованого боксу. Канонічний ансамбль описує систему з фіксованими N і V, що контактує з тепловим резервуаром при температурі T — енергія може флуктуювати, але середнє визначається T. Великий канонічний ансамбль дозволяє флуктуювати і енергії, і числу частинок, коли система контактує з резервуаром при температурі T та хімічному потенціалі μ — підходить для відкритих систем, де частинки можуть обмінюватися. Для великих систем усі три ансамблі дають однакові середні термодинамічні передбачення (еквівалентність ансамблів), але вони відрізняються за структурою флуктуацій.
Що таке статистична сума і чому вона центральна для статистичної механіки?
Статистична сума Z = Σᵢ e^(-βEᵢ) (по всіх мікростанах) є статистично-механічним аналогом виробничої функції: практично всі термодинамічні величини можна отримати з Z диференціюванням за β або об'ємом. Вільна енергія F = -kT ln Z; ентропія S = -∂F/∂T; тиск P = -∂F/∂V; середня енергія ⟨E⟩ = -∂ln Z/∂β. Обчислення Z для складних систем (взаємодіючих частинок) надзвичайно складне — більшість точно розв'язних моделей є одновимірними чи двовимірними з простими взаємодіями. Симуляції методом Монте-Карло та молекулярної динаміки апроксимують ансамблеві середні без явного обчислення Z.
Як температура керує розподілом енергії в ансамблі Больцмана?
За абсолютного нуля (T→0) фактор Больцмана дає ймовірність 1 основному стану і 0 усім збудженим станам — система перебуває в конфігурації з найнижчою енергією. Зі зростанням T теплові флуктуації заселяють збуджені стани експоненційно: відношення ймовірностей між станом з енергією ΔE вище основного та самим основним станом дорівнює e^(-ΔE/kT). Коли kT ≈ ΔE, стани заселені порівнянно. Коли kT набагато більше за ΔE, усі стани стають майже однаково заселеними (максимальний безлад, максимальна ентропія). Фазові переходи (плавлення, втрата намагніченості) відбуваються за температур, коли теплова енергія долає виграш енергії від впорядкованих конфігурацій.
Як ансамбль Гіббса пояснює випромінювання абсолютно чорного тіла та закон Планка?
Класична статистична механіка, застосована до електромагнітного випромінювання в порожнині, передбачала закон Релея-Джинса: густина енергії пропорційна ν² (квадрату частоти), що давало нескінченну сумарну енергію — так звану "ультрафіолетову катастрофу". Планк розв'язав цю проблему у 1900 році, розглядаючи кожну електромагнітну моду як квантовий осцилятор, здатний утримувати енергію лише кратну hν. Застосування статистики Больцмана до цих квантованих осциляторів дає розподіл Планка: ⟨E(ν)⟩ = hν/(e^(hν/kT) - 1). На низьких частотах, коли kT набагато більше за hν, це зводиться до закону Релея-Джинса; на високих частотах пригнічення Больцмана e^(-hν/kT) обриває розбіжність. Це стало першим застосуванням квантових ідей і започаткувало квантову механіку.