Фронт епідемії
Зростає
Ця симуляція запускає просторову SIR-епідемію на сітці 150×150 клітин, кожна з яких містить локальні частки Сприйнятливих, Інфікованих і Одужалих. Зараження розвивається через реакційні члени dI/dt = β·S·I − γ·I, а дифузійний член D·∇²I дозволяє інфекції поширюватися на сусідні клітини. Сітка оновлюється явною схемою Ейлера (крок часу 0,25) з п'ятиточковим лапласіаном, що породжує мандрівні фронти зараження типу Фішера–КПП.
Повзунки задають швидкість передачі β, швидкість одужання γ, коефіцієнт дифузії D та швидкість симуляції, а базове репродуктивне число R₀ = β/γ оновлюється в реальному часі. Кнопки початкових умов задають вогнище в центрі, чотири вогнища, уздовж межі або випадково. Це відтворює просторову епідеміологію, яку бракує асоціальним моделям: як географія, контакти та імунітет формують реальні спалахи таких хвороб, як кір, грип або фронти сказу у дикій природі.
Що насправді показує ця симуляція?
Вона показує просторове поширення епідемії на 2D-сітці населення. Сині клітини — Сприйнятливі, червоні — Інфіковані, сірі — Одужалі. З розвитком спалаху видно, як червоний фронт зараження рухається від початкового вогнища, залишаючи позаду одужалу (сіру) зону, — так само, як реальна епідемія охоплює пов'язану популяцію.
Яка математична модель лежить в основі?
SIR-модель ділить популяцію на Сприйнятливих, Інфікованих і Одужалих. Локальні правила: dS/dt = −βSI, dI/dt = βSI − γI і dR/dt = γI. Кожна клітина сітки має власні частки S, I та R, а додатковий дифузійний член дозволяє інфекції проникати між сусідніми клітинами, перетворюючи класичну SIR-модель на просторову.
Що таке R₀ і чому це важливо?
R₀ — базове репродуктивне число: середня кількість нових заражень, яку спричиняє один інфікований у повністю сприйнятливій популяції. У цій моделі R₀ = β/γ. Якщо R₀ більше 1 — епідемія зростає й утворюється фронт; якщо менше 1 — кожен випадок не встигає замінити себе, і спалах згасає.
β (передача, 0,05–0,80) визначає, наскільки швидко контакт між сприйнятливими та інфікованими клітинами спричиняє нові зараження. γ (одужання, 0,01–0,30) задає швидкість одужання та набуття імунітету. D (дифузія, 0–0,60) контролює, як далеко інфекція поширюється просторово за кожен крок: збільшення D прискорює і згладжує фронт, тоді як D = 0 обмежує зараження початковими клітинами.
Сітка оновлюється явною схемою Ейлера з фіксованим кроком часу 0,25. Дифузійний член використовує стандартний п'ятиточковий лапласіан (клітина мінус середнє чотирьох сусідів) з умовами Неймана на межах, тому потік не покидає краї. Значення затискаються так, щоб S, I і R залишалися в діапазоні 0–1 для чисельної стійкості.
Коли реакція, що збільшує популяцію, поєднується з дифузією, виникає мандрівна хвиля приблизно сталої форми та швидкості — вперше досліджена Фішером та Колмогоровим, Петровським і Піскуновим. Фронт зараження тут поводиться так само: його швидкість масштабується як квадратний корінь добутку дифузії та чистої швидкості росту, тому більше D або більше R₀ — обидва пришвидшують фронт.
Колективний імунітет досягається, коли достатня частина популяції є імунною, що R₀ фактично падає нижче 1 і поширення зупиняється. Класичний поріг — 1 − 1/R₀. Наприклад, при R₀ = 4 близько 75% мають бути імунними. У симуляції можна спостерігати, як фронт сповільнюється і згасає, коли частка одужалих (сірих) перевищує цей рівень.
Чотири варіанти посіву — центр, чотири вогнища, межа та випадковий — змінюють місце та охоплення початкового зараження. Декілька вогнищ або повна межа створюють кілька фронтів, що зіштовхуються раніше, тому епідемія досягає піку швидше. Єдине центральне вогнище дає найчистіше розширювальне коло — ідеально для вимірювання швидкості фронту залежно від параметрів.
Це вірна навчальна версія просторової SIR-динаміки, що відтворює правильну якісну поведінку: поріг R₀, масштабування швидкості хвилі та колективний імунітет. Вона спрощує реальність, використовуючи рівномірну сітку, сталі параметри, відсутність народжуваності, смертності та латентного періоду, а також однорідне змішування всередині кожної клітини, тому її слід сприймати як концептуальний інструмент, а не калібрований прогноз для конкретної хвороби.
Поширення залежить від місцевого запасу сприйнятливих клітин. Проходячи, фронт перетворює сприйнятливих на інфікованих, а потім на одужалих, залишаючи позаду імунний ґрунт. Щойно інфікована зона вичерпує запас нових сприйнятливих, передача βSI обвалюється, інфікована частка згасає через одужання γI — і спалах вигорає, навіть якщо R₀ було великим.
Просторові SIR-моделі, подібні до цієї, лежать в основі досліджень географічно структурованих спалахів: від хвиль кору в містах до фронтів сказу в популяціях лисиць і поширення хвороб рослин чи сільськогосподарських культур. Вони показують, чому транспортні зв'язки, щільність населення та прогалини в імунітеті мають значення, і чому заходи, що знижують β або підвищують імунітет, можуть зупинити фронт до того, як він охопить регіон.