Рівняння мілкої води: як цунамі перетинає океан

1. Чому «мілка вода» працює для хвилі, що охоплює цілий океан

«Мілка» звучить дивно щодо Тихого океану, але це слово описує співвідношення, а не абсолютну глибину. Хвиля вважається хвилею «мілкої води» щоразу, коли її довжина λ значно перевищує глибину води h — формально, коли h/λ ≪ 1 (на практиці приблизно h/λ < 1/20).

Цунамі, спричинене підводним землетрусом, зазвичай має довжину хвилі 100–500 км, тоді як середня глибина океану становить лише близько 4 км. Тому співвідношення h/λ становить приблизно 0,01–0,04 — це впевнено потрапляє в область мілкої води, навіть якщо сама вода має глибину кілька кілометрів. Хвилі, породжені вітром, навпаки, мають довжину хвилі від десятків до сотень метрів і майже завжди є хвилями глибокої води, що підпорядковуються зовсім іншій фізиці.

Ця відмінність важлива, бо в режимі мілкої води горизонтальний масштаб настільки домінує над вертикальним, що рівняння вертикального імпульсу зводиться до простого гідростатичного балансу, а потік можна розглядати як практично двовимірний — величезне спрощення, яке робить моделювання цунамі в масштабі всього басейну обчислювально здійсненним.

2. Виведення рівнянь мілкої води

Рівняння мілкої води (SWE) отримують усередненням по глибині нестисливих рівнянь Нав'є-Стокса за умови гідростатичного припущення. Нехай h(x,y,t) — глибина води, η(x,y,t) — підвищення вільної поверхні над опорним рівнем, b(x,y) — висота дна (тож h = η − b), а u = (u,v) — усереднена по глибині горизонтальна швидкість. Інтегрування збереження маси та імпульсу від дна до вільної поверхні дає:

У розгорнутому вигляді за компонентами, де g — прискорення вільного падіння:

Доданок ½gh² виникає з інтегрування гідростатичного тиску P = ρg(η − z) по товщі води — він відіграє точно ту саму роль, що й тиск P у повному рівнянні імпульсу Нав'є-Стокса, тільки тепер діє як нелінійний «тиск», що залежить від квадрата глибини. Саме тому SWE також називають рівняннями Сен-Венана (введені Адемаром Барре де Сен-Венаном 1871 року для течії у відкритих каналах, за десятиліття до застосування до цунамі).

Доданки у правій частині означають: −gh∇b — сила від нахилу дна (батиметрії); fv h та −fu h — сила Коріоліса, спричинена обертанням Землі (f = 2Ω sin φ, важлива для поширення в масштабі басейну протягом кількох годин); і −c_f u|u| — квадратичне донне тертя, незначне у відкритому океані, але критичне поблизу берега.

3. Швидкість хвилі: c = √(gh)

Лінеаризація рівнянь мілкої води навколо нерухомого океану глибиною h (мале збурення η ≪ h, без адвекції та тертя) дає класичне лінійне хвильове рівняння для підвищення поверхні:

яке задовольняється хвилями, що поширюються з фазовою швидкістю мілкої води:

Ця єдина формула пояснює, чому цунамі — одне з найшвидших природних явищ на планеті. У відкритому Тихому океані, де h ≈ 4000 м:

Це порівнянно зі швидкістю крейсерського польоту пасажирського літака — цунамі може перетнути весь Тихий океан менш ніж за добу. Ключовий момент: у теорії мілкої води c залежить лише від глибини, а не від довжини хвилі — хвиля недисперсійна: кожна фур'є-компонента початкового збурення поширюється з однаковою швидкістю, тож хвиля зберігає форму, поширюючись відкритим океаном, замість того щоб розпливатися.

4. Як землетрус породжує цунамі

Приблизно 80% цунамі спричинені землетрусами в зонах субдукції. Коли одна тектонічна плита раптово підринає під іншу, ділянка морського дна — часто довжиною в сотні кілометрів — вертикально зміщується на метри за лічені секунди. Оскільки вода майже нестислива, а припущення мілкої води трактує вертикальну швидкість як миттєво передану на поверхню, початкова умова для симуляції цунамі проста:

де Δb — вертикальна деформація морського дна, обчислена з пружної дислокаційної моделі розриву розлому (широко застосовувані формули Окади (1985) дають деформацію поверхні за геометрією розлому, зміщенням і моментною магнітудою). Ця «випуклість» дна стає початковим підвищенням вільної поверхні, а рівняння SWE потім інтегруються вперед у часі, поширюючи його.

Інші джерела цунамі вписуються в ту саму схему задачі з початковими умовами, з іншим Δb або початковим полем швидкості: підводні зсуви (маса, що швидко рухається, перерозподіляє воду — іноді з набагато коротшими довжинами хвиль, що робить чисто мілководні припущення недійсними), обвали флангів вулканів і — рідко — падіння астероїдів чи вибухові виверження вулканів, як-от Хунга-Тонга 2022 року, яке породило атмосферні хвилі тиску, що також взаємодіяли з океаном.

5. Шоалінг, закон Гріна та вибіг на берег

Коли цунамі наближається до берега, глибина h зменшується, а разом з нею й c = √(gh). Оскільки потік енергії хвилі приблизно зберігається вздовж повільно змінюваного каналу чи шельфу, хвиля повинна зростати за висотою, щоб компенсувати сповільнення. Цей процес підсилення називається шоалінгом.

Для хвилі, що рухається у поступово зменшувану глибину (без відбиття, зі збереженням потоку енергії), закон Гріна дає масштабування висоти:

Візьмемо цунамі висотою H₁ = 0,5 м на глибині h₁ = 4000 м, яке накочується на прибережний шельф глибиною h₂ = 20 м:

Сам лише закон Гріна вже дає приблизно чотирикратне підсилення, а на останніх метрах вибігу він взагалі перестає діяти — там переважають нелінійні ефекти, донне тертя та геометрія берегової лінії (затоки, гирла річок і миси можуть спрямовувати й додатково підсилювати хвилю). Реальна висота вибігу регулярно перевищує оцінку на відкритому шельфі: саме тому виміряні висоти вибігу цунамі Тохоку 2011 року в вузьких затоках сягали майже 40 м, хоча висота хвилі поблизу берега становила лише кілька метрів.

Западина на передньому фронті

Багато цунамі спершу приходять до берега як западина, а не гребінь — море помітно відступає, оголюючи дно, і лише через кілька хвилин надходить основний гребінь хвилі. Це трапляється, коли початкова деформація морського дна має западину поруч із головним підняттям, або через дисперсію хвилі; це один із небагатьох надійних, хоч і моторошних, природних сигналів попередження, і саме тому в рекомендаціях з евакуації узбережжя сказано: якщо море різко відступає, не йдіть дивитися — негайно біжіть на висоту.

6. Дисперсія та межі моделі мілкої води

Класичні рівняння мілкої води виводяться за припущення, що тиск ідеально гідростатичний, що рівнозначно відкиданню будь-якого вертикального прискорення. Це чудове наближення для h/λ ≪ 1, але воно стає неточним для збурень з коротшою довжиною хвилі — таких як цунамі, спричинені зсувами, метеоцунамі, чи передній фронт цунамі землетрусу, коли він крутішає біля берега.

Повніша лінійна теорія (теорія хвиль Ейрі) дає точне дисперсійне співвідношення для хвиль на воді будь-якої глибини:

де ω — кутова частота, а k = 2π/λ — хвильове число. Дві корисні межі:

• Мілка вода (kh ≪ 1): tanh(kh) ≈ kh, звідки ω² ≈ g k² h, тобто фазова швидкість c = ω/k → √(gh) — точно недисперсійний результат мілкої води.
• Глибока вода (kh ≫ 1): tanh(kh) → 1, звідки c = √(g/k) — швидкість тепер залежить від довжини хвилі, і хвилі диспергують (це режим звичайного вітрового морського хвилювання).

Щоб врахувати слабку дисперсію, зберігаючи обчислювальну ефективність, моделювальники цунамі використовують рівняння типу Буссінеска, які додають до SWE доданки-поправки вищого порядку, наближаючи поведінку tanh(kh) без розв'язання повної тривимірної задачі про вільну поверхню Нав'є-Стокса. Вони необхідні для точного моделювання цунамі, спричинених зсувами, і дрібної структури поїздів хвиль після поширення на великі відстані.

7. Числові методи: скінченні об'єми та збалансовані схеми

SWE — це система нелінійних гіперболічних законів збереження, структурно тісно пов'язана зі стисливими рівняннями Ейлера газової динаміки (глибина h відіграє роль густини, а ½gh² — роль тиску). Це означає, що той самий числовий інструментарій, розроблений для захоплення ударних хвиль у стисливому потоці — методи скінченних об'ємів типу Годунова, — застосовується безпосередньо до симуляції цунамі, а бори/гідравлічні стрибки в мілкій воді є точним аналогом ударних хвиль у газовій динаміці.

Типове оновлення скінченного об'єму в комірці i за дискретний часовий крок Δt має консервативну форму:

Числовий потік F на кожній межі комірок зазвичай обчислюється наближеним розв'язувачем задачі Рімана — найпоширеніші вибори: HLL (Harten-Lax-van Leer) або схема Ро, обрані за здатність розв'язувати бори, що формуються на передньому фронті цунамі, коли воно крутішає біля берега.

Збалансовані схеми та обводнення-осушення

Наївна дискретизація доданка батиметрії −gh∇b провалює критичну перевірку на здоровий глузд: ідеально нерухомий океан над змінною батиметрією повинен лишатися ідеально нерухомим. Схеми, що точно зберігають цей стаціонарний стан «озеро в спокої», називаються збалансованими схемами, і вони обов'язкові для кодів моделювання цунамі — інакше числовий шум лише від градієнта батиметрії може штучно породити хибні хвилі, достатньо великі, щоб замаскувати реальний сигнал.

Прибережне затоплення додатково потребує алгоритмів обводнення-осушення: комірки, де h → 0, потребують обережної обробки (зазвичай з порогом тонкої плівки та спеціальним обмеженням потоку), щоб симуляція могла відображати просування берегової лінії вглиб суходолу під час вибігу й відступ під час відпливу, не даючи глибині ставати від'ємною чи швидкості «вибухати».

8. Реальні системи попередження про цунамі

Оперативні центри попередження про цунамі — такі як Тихоокеанський центр попередження про цунамі NOAA (США) та японська JMA — використовують моделі мілкої води, побудовані саме на цій основі, але під надзвичайним тиском часу: прогноз потрібно видати протягом кількох хвилин після землетрусу, задовго до того, як саме цунамі досягне будь-якого берега.

Стандартний операційний конвеєр виглядає так:

• Сейсмічне виявлення — глобальні мережі сейсмометрів оцінюють місце, глибину та моментну магнітуду землетрусу протягом 1–3 хвилин.
• Моделювання джерела — модель розлому типу Окади перетворює параметри землетрусу на початкову деформацію морського дна Δb.
• База попередньо обчислених сценаріїв — оскільки повна симуляція SWE «з нуля» в реальному часі надто повільна, центри на кшталт NOAA підтримують бази даних із тисяч попередньо обчислених поширень цунамі від одиничних джерел (система SIFT / MOST), які лінійно комбінуються, щоб за секунди відповідати фактичному джерелу землетрусу.
• Підтвердження буями DART — придонні датчики тиску в глибокому океані (буї Deep-ocean Assessment and Reporting of Tsunamis) вимірюють крихітний сигнал тиску від хвилі, що проходить у відкритій воді, і використовуються для корекції та перевірки прогнозу майже в реальному часі.
• Прибережний прогноз і карти затоплення — далі високороздільні, збалансовані розрахунки SWE з детальною локальною батиметрією оцінюють час прибуття, висоту хвилі та масштаб затоплення для кожної заселеної ділянки узбережжя.

Та сама фізика, яка робить можливими прискорені GPU симуляції води в реальному часі для ігор і візуалізації — усереднена по глибині сітка, що оновлюється щокадру розв'язувачем мілкої води методом скінченних об'ємів чи скінченних різниць, — у значно більшому масштабі та зі ставками на людські життя є саме тим обчисленням, яке виконується всередині центру попередження про цунамі в момент виявлення землетрусу в зоні субдукції.