Квантове тунелювання: WKB апроксимація

Точний розв'язок: прямокутний бар'єр

Розгляньмо частинку з енергією E < V₀, що падає на прямокутний бар'єр висотою V₀ і шириною L. Всередині бар'єру СРШ −ℏ²/(2m)ψ'' + V₀ψ = Eψ має експоненційні, а не осциляторні, розв'язки, бо E − V₀ < 0:

Зшивання ψ та ψ' на обох межах x = 0 і x = L (неперервність необхідна, бо потенціал скінченний) дає єдиний розв'язок з ненульовою амплітудою по інший бік бар'єру — частинка має ненульову ймовірність з'явитися за бар'єром, що суворо заборонено класично.

Коефіцієнт проходження

Коефіцієнт проходження T = |ψ_{пройшла}|² / |ψ_{падаюча}|² для прямокутного бар'єру має точну замкнену форму:

Останній рядок — ключовий результат: для широкого чи високого бар'єру T спадає експоненційно з κL. Ця експоненційна чутливість — множник e в T на кожну (ℏ/√(2m(V₀−E))) додаткової ширини — саме тому тунелювання нехтовно мале для повсякденних макроскопічних об'єктів, але домінує для електронів і легких ядер.

Ідея WKB: повільно змінний бар'єр

Реальні бар'єри (кулонівський + сильний ядерний потенціал у ядрі, зазор між зондом СТМ та поверхнею) не прямокутні. Наближення WKB (Вентцеля-Крамерса-Бріллюена) обробляє довільне V(x), трактуючи його як локально прямокутне: у кожній точці x визначають локальну константу спадання κ(x) і припускають, що хвильова функція все ще виглядає локально експоненційною, за умови що V(x) змінюється повільно на масштабі локальної довжини хвилі:

Множник 1/√κ(x) необхідний законом збереження струму ймовірності при зміні локальної «довжини хвилі»; це той самий прийом, що й у трактуванні WKB повільно змінних осциляторних потенціалів для зв'язаних станів (квантування Бора-Зоммерфельда).

Тунельний інтеграл Гамова

Застосовуючи WKB на всій класично забороненій області — від внутрішньої точки повороту a (де E = V(a)) до зовнішньої точки повороту b (де E = V(b)) — отримуємо фактор Гамова:

Джордж Гамов використав саме цю формулу у 1928 році, щоб пояснити альфа-розпад: альфа-частинка всередині ядра захоплена сильною ядерною ямою, але зіштовхується з довгодіючим кулонівським бар'єром зовні. Тунельний інтеграл через кулонівський «хвіст» передбачає закон Гейгера-Неттолла — експоненційну залежність між періодом напіврозпаду та енергією альфа-частинки, що охоплює понад двадцять порядків величини періоду напіврозпаду, майже ідеально узгоджуючись з фактором Гамова.

Межі застосовності: коли WKB не працює

WKB припускає, що локальна довжина хвилі де Бройля змінюється повільно, формально |dλ/dx| ≪ 1. Наближення відмовляє у двох конкретних місцях:

• Поблизу точок повороту a та b, де E = V(x) і κ(x) → 0 — сама WKB-хвильова функція там розходиться. Виправлення — функції зшивання Ейрі, які плавно з'єднують осциляторний та експоненційний WKB-розв'язки через кожну точку повороту.
• Для дуже тонких чи низьких бар'єрів (κL ≲ 1), де експоненційне наближення втрачає точність, і замість нього слід використовувати точний (чи чисельний) розв'язок.

Попри ці обмеження, WKB дає точність у кілька відсотків практично для всіх бар'єрів, важливих у ядерній та напівпровідниковій фізиці, бо ці бар'єри у відповідному сенсі «широкі» порівняно з довжиною хвилі частинки.

Застосування: розпад, СТМ, тунельні діоди

Чисельне обчислення T

Для довільного бар'єру V(x) інтеграл Гамова обчислюється чисельним квадратуванням над класично забороненою областю:

// Проходження Гамова/WKB для довільного бар'єру V(x)
function wkbTransmission(V, E, a, b, hbar, m, steps = 2000) {
  let integral = 0;
  const dx = (b - a) / steps;
  for (let i = 0; i < steps; i++) {
    const x = a + (i + 0.5) * dx;
    const Vx = V(x);
    if (Vx > E) {
      // класично заборонено: kappa(x) дійсне
      const kappa = Math.sqrt(2 * m * (Vx - E)) / hbar;
      integral += kappa * dx;
    }
  }
  return Math.exp(-2 * integral);   // T ≈ e^{-2∫κ dx}
}

// Приклад: параболічний бар'єр V(x) = V0 * (1 - (x/L)^2)
const T = wkbTransmission(
  x => V0 * (1 - (x / L) ** 2),
  E, -L, L, HBAR, MASS
);