Розподіл Максвелла-Больцмана — швидкість та енергія молекул газу

1. Кінетична теорія: молекули та температура

У кінетичній теорії ідеальний газ — це сукупність N точкових частинок, що відбиваються всередині контейнера. Модель визначають чотири ключові припущення:

• Молекули — це ідентичні, абсолютно пружні сфери (без втрат енергії під час зіткнення).
• Об'єм молекул є нехтовно малим порівняно з об'ємом контейнера.
• Єдина взаємодія — це миттєві пружні зіткнення; далекодійних сил немає.
• Зіткнення статистично некорельовані — припущення молекулярного хаосу.

За цих припущень співвідношення тиск-об'єм-температура випливає суто із законів Ньютона. Що важливіше, теорема про рівнорозподіл пов'язує абсолютну температуру із середньою кінетичною енергією на один ступінь вільності:

де k_B = 1.380 649 × 10⁻²³ Дж/К — стала Больцмана, а m — маса молекули. Отже, температура є макроскопічною мірою мікроскопічної кінетичної енергії.

2. Гаусові компоненти швидкості

Оскільки газ перебуває в тепловій рівновазі й немає виділеного напрямку, кожна декартова компонента швидкості є незалежною та однаково розподіленою. Поєднання результату рівнорозподілу з фактором Больцмана для однієї компоненти дає одновимірний гаусіан:

Це густина ймовірності для x-компоненти швидкості. Середнє значення дорівнює нулю (немає сумарного дрейфу), і розподіл розширюється зі зростанням температури. Така сама форма справедлива для v_y та v_z.

У 3D вектор швидкості (v_x, v_y, v_z) підпорядковується сферично-симетричному багатовимірному гаусіану — добутку трьох незалежних одновимірних гаусіанів.

3. Розподіл швидкостей f(v)

Швидкість v = |v| (скалярна величина, v ≥ 0) має інший розподіл, ніж кожна компонента. Щоб знайти його, ми інтегруємо 3D гаусіан за всіма кутами, розглядаючи простір швидкостей як набір тонких сферичних оболонок радіуса v і товщини dv. Площа поверхні такої оболонки дорівнює 4πv², що дає:

Три множники мають інтуїтивне тлумачення:

• 4πv² — об'єм сферичної оболонки в просторі швидкостей (більше способів досягти високої швидкості).
• (m / 2πk_BT)^(3/2) — стала нормування.
• exp(−mv² / 2k_BT) — фактор Больцмана, що пригнічує високі енергії.

Конкуренція між членом v² (зростає) та больцманівським пригніченням (спадає) створює пік при скінченній швидкості, що дає характерну дзвоноподібну форму зі скосом праворуч.

4. Характеристичні швидкості: v_p, ⟨v⟩, v_rms

Розподіл характеризують три швидкості:

Оскільки розподіл має додатній скіс, середньоквадратична швидкість лежить вище середньої, яка лежить вище найімовірнішої швидкості. Для всіх трьох швидкість масштабується як √T (подвоєння температури збільшує швидкості на ≈ 41 %) та як 1/√m (легші молекули рухаються швидше за тієї самої температури).

5. Розподіл за енергіями

Підстановка E = ½mv² (отже, dE = mv dv, v = √(2E/m)) у розподіл швидкостей дає розподіл за кінетичними енергіями:

Ключові моменти розподілу за енергіями:

• Пік (найімовірніша енергія): E_p = ½ k_BT
• Середня енергія: ⟨E⟩ = (3/2) k_BT (з рівнорозподілу)
• Дисперсія: Var(E) = (3/2)(k_BT)²

Розподіл за енергіями є універсальним у тому сенсі, що залежить від температури лише через відношення E/k_BT — знову ж таки, фактор Больцмана.

6. Залежність від температури

Зі зростанням температури розподіл розширюється, а його пік зсувається праворуч. Якісно:

• За низької T молекули повільні й щільно зосереджені навколо v_p.
• За високої T розподіл розтягується — більше молекул і з дуже низькими, і з дуже високими швидкостями.
• Площа під кривою завжди дорівнює 1 (нормування), тож у міру розширення вона також стає пласкішою.

Важчі молекули мають меншу v_p за тієї самої температури. Водень (H₂, M = 2 г/моль) за кімнатної температури має v_p ≈ 1578 м/с — майже учетверо більше, ніж у кисню (O₂, M = 32 г/моль) при ≈ 394 м/с. Ця залежність від маси лежить в основі закону ефузії Грема та розділення ізотопів газовою дифузією.

Хвіст високих швидкостей

Експоненційний хвіст означає, що завжди існує певна ймовірність надзвичайно швидких молекул. Цей хвіст має величезне значення:

• Атмосферна втеча: молекули у хвості високих швидкостей земної екзосфери можуть перевищувати швидкість втечі (≈ 11.2 км/с). Легкі водень і гелій витікають упродовж геологічного часу.
• Ядерний синтез: температура ядра Сонця (≈ 1.5 × 10⁷ К) є занадто низькою для класичного синтезу — лише хвіст високих швидкостей уможливлює квантове тунелювання крізь кулонівський бар'єр (пік Гамова).

7. JavaScript: вибірка Бокса-Мюллера

Щоб змоделювати газ, нам потрібно зробити вибірку з розподілу Максвелла-Больцмана. Найчистіший підхід використовує перетворення Бокса-Мюллера, щоб згенерувати стандартно-нормальні вибірки для кожної компоненти швидкості, а потім масштабує їх на теплову швидкість σ = √(k_BT/m).

// Перетворення Бокса-Мюллера: дві рівномірні → дві стандартно-нормальні вибірки
function boxMuller() {
  const u1 = Math.random();      // рівномірно в (0, 1]
  const u2 = Math.random();
  const r  = Math.sqrt(-2 * Math.log(u1));
  return [
    r * Math.cos(2 * Math.PI * u2),
    r * Math.sin(2 * Math.PI * u2),
  ];
}

// Вибірка швидкості однієї частинки (vx, vy, vz) у м/с
function sampleVelocity(T, m) {
  const kB    = 1.380649e-23;            // стала Больцмана Дж/К
  const sigma = Math.sqrt(kB * T / m);   // теплова швидкість (середньоквадр. відхил. на компоненту)
  const [z0, z1] = boxMuller();
  const [z2]     = boxMuller();
  return {
    vx: sigma * z0,
    vy: sigma * z1,
    vz: sigma * z2,
  };
}

// Обчислити густину ймовірності швидкості при швидкості v (м/с) для молекули масою m
function maxwellBoltzmannPDF(v, T, m) {
  const kB = 1.380649e-23;
  const a  = m / (2 * kB * T);
  return 4 * Math.PI * Math.pow(a / Math.PI, 1.5)
       * v * v
       * Math.exp(-a * v * v);
}

// Приклад: ініціалізуємо молекули N₂ за 300 К
const N  = 500;
const T  = 300;                        // Кельвіни
const mN2 = 28 * 1.6605e-27;          // 28 а.о.м. у кг

const particles = Array.from({length: N}, () => sampleVelocity(T, mN2));

// Обчислюємо швидкість кожної та будуємо гістограму
const speeds = particles.map(p =>
  Math.hypot(p.vx, p.vy, p.vz)
);

const vp = Math.sqrt(2 * 1.380649e-23 * T / mN2);  // ~422 м/с
const vrms = Math.sqrt(3 * 1.380649e-23 * T / mN2); // ~517 м/с

Масштабування для симуляції на Canvas

Для 2D-симуляції у браузері вектор швидкості зводиться до (v_x, v_y). Оскільки ми не можемо безпосередньо використовувати одиниці СІ, ми масштабуємо швидкості в одиниці «пікселів за кадр»: обираємо опорну швидкість V₀ (у пікселях/кадр), що відповідає v_p за бажаної температури, а потім множимо вибірки на V₀/v_p. Форма розподілу ідентична; змінюються лише одиниці.

8. Застосування

Закон ефузії Грема

Коли газ виходить крізь крихітний отвір у вакуум, швидші молекули витікають частіше. Швидкість ефузії пропорційна середній швидкості, що дає:

Ізотопи гексафториду урану ²³⁵UF₆ (M ≈ 349) та ²³⁸UF₆ (M ≈ 352) відрізняються лише на √(352/349) ≈ 1.004 за один каскад. Каскадування тисяч ступенів дає змогу збагачувати ізотопи для ядерних реакторів та зброї.

Рівняння Арреніуса та швидкості реакцій

Константа швидкості k(T) пропорційна фактору Больцмана — частці молекулярних зіткнень із достатньою енергією, щоб подолати активаційний бар'єр. Це пояснює, чому підвищення T на 10 °C приблизно подвоює більшість швидкостей реакцій.

Доплерівське розширення спектральних ліній

Теплий рух атомів у гарячому газі зсуває частоту випроміненого чи поглинутого фотона кожного атома внаслідок ефекту Доплера. Оскільки v_x підпорядковується гаусіану, отримана спектральна лінія має гаусів профіль з шириною Δν ∝ √(T/M). Астрономи використовують це розширення для вимірювання температури та турбулентної швидкості зоряних атмосфер.

Втеча за Джинсом та планетарні атмосфери

У верхній частині атмосфери (екзосфері) молекули, що досягають швидкості втечі, втрачаються у космос. Частка вище v_escape — це хвіст розподілу Максвелла-Больцмана. Водень і гелій настільки легкі, що навіть за температури земної екзосфери (≈ 1000 К) помітна частка перевищує v_esc ≈ 11.2 км/с — це пояснює, чому Земля зберегла свою азотно-кисневу атмосферу, але втратила свій первісний водень.