Теплопередача:
теплопровідність, конвекція та випромінювання

1. Огляд трьох механізмів

Кожна задача теплопередачі залучає один або кілька з цих трьох механізмів. Вони фундаментально відрізняються потрібним середовищем та керівним рівнянням:

2. Теплопровідність та закон Фур’є

Жан-Батист Жозеф Фур’є показав 1822 року, що тепловий потік крізь матеріал пропорційний градієнту температури та теплопровідності матеріалу:

Повна швидкість теплового потоку крізь площу A товщиною L:

Тепловий опір поводиться точно як електричний опір — послідовні шари (стіна + ізоляція) просто додаються: R_total = Σ(Lᵢ/kᵢAᵢ).

3. Конвекція та закон охолодження Ньютона

Коли плинне середовище рухається повз тверду поверхню, воно відбирає тепло від цієї поверхні (або віддає його їй). Закон охолодження Ньютона параметризує це коефіцієнтом конвективної тепловіддачі h:

Коефіцієнт h не є константою матеріалу — він залежить від швидкості плинного середовища, геометрії та режиму течії (ламінарний проти турбулентного). Його визначають через безрозмірне число Нуссельта Nu = hL/k_fluid, яке корелює з числами Рейнольдса (Re) та Прандтля (Pr).

Природна проти вимушеної конвекції

За природної (вільної) конвекції рух плину зумовлений плавучістю — тепле середовище підіймається, холодне опускається. Типові значення h становлять 5–25 Вт/(м²·К) у повітрі. Вимушена конвекція (вентилятор, що обдуває радіатор) підвищує h до 25–250 Вт/(м²·К). Рідинне охолодження (вода, олива) сягає 100–20 000 Вт/(м²·К), бо рідини мають значно більшу теплоємність на одиницю об’єму.

4. Випромінювання та закон Стефана–Больцмана

Кожне тіло з температурою вище за абсолютний нуль випромінює електромагнітне випромінювання. Йозеф Стефан (1879) та Людвіг Больцман (1884) вивели повну випромінювану потужність для ідеального чорного тіла:

Реальні поверхні не є ідеальними чорними тілами. Їхня випромінювальна здатність ε (0 ≤ ε ≤ 1) масштабує випромінювання: Q̇ = εσAT⁴. Чистий теплообмін між двома паралельними поверхнями:

Закон зміщення Віна

Пікова довжина хвилі випромінювання зміщується з температурою: λ_peak · T = 2.898 × 10⁻³ м·К. За 5778 К (Сонце) λ_peak ≈ 500 нм (зелене світло). За 300 К (кімнатна температура) λ_peak ≈ 9700 нм (середній інфрачервоний діапазон) — невидиме для людського ока, але вловлюване тепловізорами.

5. Диференціальне рівняння теплопровідності

Поєднання закону Фур’є із законом збереження енергії в суцільному середовищі дає рівняння теплопровідності — одне з найважливіших диференціальних рівнянь у частинних похідних у фізиці:

У 1D дискретизований крок методом скінченних різниць такий:

6. Реалізація на JavaScript

Наведений нижче код розв’язує 1D-рівняння теплопровідності на стрижні за допомогою явної схеми скінченних різниць, а також модель охолодження зосередженого тіла з поєднанням усіх трьох механізмів.

// 1D теплова дифузія — явні скінченні різниці
class HeatRod {
  /**
   * @param {number} n      - кількість просторових вузлів
   * @param {number} alpha  - коефіцієнт температуропровідності [м²/с]
   * @param {number} dx     - відстань між вузлами [м]
   */
  constructor(n, alpha, dx) {
    this.T   = new Float64Array(n).fill(300); // K
    this.T2  = new Float64Array(n);
    this.n   = n;
    this.alpha = alpha;
    this.dx  = dx;
    // макс. стійкий dt: alpha*dt/dx² ≤ 0.5
    this.dt  = 0.4 * dx*dx / alpha;
  }

  step() {
    const { T, T2, n, alpha, dx, dt } = this;
    const r = alpha * dt / (dx * dx);
    // внутрішні вузли
    for (let i = 1; i < n - 1; i++) {
      T2[i] = T[i] + r * (T[i+1] - 2*T[i] + T[i-1]);
    }
    // Гранична умова Діріхле: лівий кінець гарячий, правий холодний
    T2[0] = T[0];
    T2[n-1] = T[n-1];
    T2.copyWithin(0);
    T.set(T2);
  }

  // Гранична умова Неймана: нульовий градієнт (теплоізольований кінець) у вузлі i
  insulate(i) {
    const mirror = i === 0 ? 1 : this.n - 2;
    this.T[i] = this.T[mirror];
  }
}

// Зосереджене тіло: охолодження теплопровідністю + конвекцією + випромінюванням
function lumpedCool(T0, Tamb, params, totalTime, dt) {
  const { m, Cp, A, h, epsilon, k, L } = params;
  const sigma = 5.67e-8;
  let T = T0, t = 0;
  const history = [{ t, T }];
  while (t < totalTime) {
    const qConv = h * A * (T - Tamb);          // Вт
    const qRad  = epsilon * sigma * A * (T**4 - Tamb**4); // Вт
    const qCond = k * A / L * (T - Tamb);     // контакт із підкладкою, Вт
    const dT = -(qConv + qRad + qCond) / (m * Cp) * dt;
    T += dT;
    t += dt;
    history.push({ t, T });
  }
  return history;
}

// Приклад: сталева куля (r=0.05м) охолоджується з 600К у повітрі 300К
const sphere = {
  m: 4.1,          // кг = ρ·V = 7900·(4/3π·0.05³)
  Cp: 490,         // Дж/(кг·К)
  A: 0.0314,       // м² = 4π·0.05²
  h: 15,           // Вт/(м²·К) природна конвекція в повітрі
  epsilon: 0.8,    // окиснена сталь
  k: 0,            // немає шляху теплопровідності (підвішена)
  L: 1             // ігнорується, коли k=0
};
const curve = lumpedCool(600, 300, sphere, 3600, 1); // 1 год із кроком 1 с
console.log(`After 1 hour: ${curve.at(-1).T.toFixed(1)} K`);

7. Комбінована модель охолодження

Реальні об’єкти втрачають тепло всіма трьома механізмами одночасно. Гаряча металева пластина, підвішена в повітрі, втрачає тепло через:

• Природну конвекцію — тепле повітря підіймається від обох поверхонь (домінівна нижче за ~500 К)
• Теплове випромінювання — істотне понад ~400 К, домінівне понад ~800 К
• Теплопровідність крізь будь-які монтажні кронштейни чи термопрокладки

Відносна значущість різко змінюється з температурою. За 300 К чорнена поверхня в нерухомому повітрі втрачає приблизно 60% конвекцією, 40% випромінюванням. За 1000 К на випромінювання припадає ~85% усіх тепловтрат.

Пов’язаний вміст