Jacobian-based IK vs FABRIK: порівняння

Задача зворотної кінематики

Пряма кінематика обчислює позу кінцевого ефектора за кутами суглобів — пряме множення ланцюга матриць. Зворотна кінематика (IK) ставить обернене питання: маючи бажану позицію (і часто орієнтацію) кінцевого ефектора, які кути суглобів її дають? Для послідовного ланцюга понад кілька суглобів ця система зазвичай нелінійна й або недовизначена, або перевизначена — точного розв'язку може не бути, розв'язків може бути нескінченно багато, або розв'язок важко знайти аналітично. І методи на основі якобіана, і FABRIK — це ітеративні чисельні розв'язувачі саме для такої ситуації.

IK на основі якобіана

Матриця якобіана J пов'язує малі зміни кутів суглобів Δθ зі зміною позиції/орієнтації кінцевого ефектора Δx у просторі задачі:

Кожен стовпець j матриці J — це миттєвий внесок швидкості суглоба j — для обертального суглоба стовпець j = z_j × (p_кінець − p_j), де z_j — вісь обертання суглоба, а p_j — його позиція. Щоб пересунути кінцевий ефектор до цілі, обертають цю залежність та ітерують:

Три поширені варіанти різняться тим, як перетворюють J на оновлення:

• Транспонування якобіана (JT): Δθ = Jᵀ · e — найдешевше обчислити (без обернення), але збігається повільно й потребує ретельного налаштування розміру кроку.
• Псевдообернена (JPI): Δθ = J⁺ · e, де J⁺ = Jᵀ(JJᵀ)⁻¹ — точний розв'язок методом найменших квадратів на кожному кроці, швидша збіжність, але нестабільна (величезні Δθ) поблизу сингулярностей.
• Damped Least Squares (DLS): Δθ = Jᵀ(JJᵀ + λ²I)⁻¹e — трохи жертвує точністю заради стійкості поблизу сингулярностей через коефіцієнт демпфування λ.

Сингулярності та damped least squares

Кінематична сингулярність виникає, коли рука повністю витягнута або дві осі суглобів вирівнюються, через що J втрачає ранг — деякі напрямки руху стають тимчасово недосяжними, хоч би як рухалися суглоби. Поблизу сингулярності проста псевдообернена ділить на майже нульове сингулярне значення й видає величезні, нестабільні команди швидкості суглобів. Damped least squares (DLS), також званий підходом Левенберга-Марквардта до IK, додає λ²I перед оберненням саме для того, щоб обмежити це:

Саме тому виробничі розв'язувачі IK в робототехніці (плагін KDL у MoveIt, більшість ігрового IK) за замовчуванням використовують DLS, а не «сиру» псевдообернену.

FABRIK коротко

FABRIK (Forward And Backward Reaching Inverse Kinematics) повністю оминає якобіан і обернення матриць: він розглядає ланцюг як послідовність жорстких ланок і повторно «притягує» кожен суглоб на лінію до сусіда, чергуючи зворотний прохід (від кінцевого ефектора до кореня) та прямий прохід (від кореня назад до кінцевого ефектора), щоразу точно зберігаючи довжини ланок:

Повний вивід та реалізацію дивіться у нашій окремій статті IK FABRIK з нуля.

Порівняння напряму

JavaScript: розв'язувач transpose якобіана

Мінімальний 2D-розв'язувач transpose якобіана для плоскої руки з n ланками — зауважте, наскільки більше апарату лінійної алгебри тут потрібно порівняно з чистою векторною арифметикою FABRIK:

function jacobianTransposeStep(joints, angles, target, alpha = 0.01) {
  const n = angles.length;
  const end = forwardKinematics(joints, angles); // позиція кінцевого ефектора
  const ex = target.x - end.x, ey = target.y - end.y;

  const dTheta = new Array(n).fill(0);
  let px = 0, py = 0, angleSum = 0;
  const positions = [{x: 0, y: 0}];

  // прямий прохід для отримання світової позиції кожного суглоба (потрібно для стовпців якобіана)
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    angleSum += angles[i];
    px += joints[i].length * Math.cos(angleSum);
    py += joints[i].length * Math.sin(angleSum);
    positions.push({x: px, y: py});
  }

  // стовпець якобіана i = z × (кінець − суглоб_i), у 2D зводиться до перпендикулярного вектора
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    const rx = end.x - positions[i].x, ry = end.y - positions[i].y;
    const jCol = { x: -ry, y: rx }; // перпендикуляр = 2D векторний добуток з віссю z
    // Δθ_i = J_i^T · e  (скалярний добуток цього стовпця з вектором похибки)
    dTheta[i] = jCol.x * ex + jCol.y * ey;
  }

  return angles.map((a, i) => a + alpha * dTheta[i]);
}

Що обрати

• Потрібно керувати орієнтацією кінцевого ефектора, а не лише позицією, або враховувати реальні обмеження моменту/ швидкості приводів? → На основі якобіана (DLS).
• Будуєте гру чи анімаційний риг реального часу (ноги павука, щупальця, персонаж, що тягнеться до дверної ручки), де швидкість і простота важливіші за фізичну реалістичність? → FABRIK.
• Працюєте з надлишковою рукою (7+ суглобів для 6-DOF задачі), де хочете використати нуль-простір для вторинних цілей (уникнення перешкод, тримання подалі від меж суглобів)? → На основі якобіана, оскільки проєкція в нуль-простір — природне розширення матричної формулювання.
• Обмежений бюджет CPU, багато ланцюгів на кадр (наприклад, сотня NPC)? → FABRIK, завдяки вартості O(n) на ітерацію та швидкій геометричній збіжності.

На практиці багато виробничих систем використовують обидва: FABRIK (або CCD) для швидкого приблизного досягання, уточненого кількома ітераціями Jacobian-DLS, коли потрібна точна орієнтація кінцевого ефектора.