ПД-регулятор (PID) для стабілізації руху

Формула PID

Маючи бажану уставку r(t) та виміряне значення y(t), похибка дорівнює e(t) = r(t) − y(t). Закон керування PID у неперервному часі:

u(t) — керуючий вихід: момент двигуна, команда тяги, кут сервоприводу — те, що надсилається на виконавчий механізм. Kp, Ki, Kd — три коефіцієнти налаштування, що визначають, наскільки агресивно реагує регулятор.

Дискретна реалізація

Реальні контролери працюють із фіксованою частотою дискретизації (наприклад, 100–1000 Гц для робота-балансира), тож інтеграл стає накопичувальною сумою, а похідна — скінченною різницею:

class PID {
  constructor(kp, ki, kd) {
    this.kp = kp; this.ki = ki; this.kd = kd;
    this.integral = 0;
    this.prevError = 0;
  }

  update(setpoint, measured, dt) {
    const error = setpoint - measured;
    this.integral += error * dt;
    const derivative = (error - this.prevError) / dt;
    this.prevError = error;
    return this.kp * error + this.ki * this.integral + this.kd * derivative;
  }
}

Роль кожної складової у стабільності

• P (Пропорційна) — реагує на поточну похибку. Більший Kp дає жорсткішу, швидшу реакцію, але надто великий призводить до перерегулювання й коливань, бо регулятор «проскакує» повз уставку раніше, ніж встигає відреагувати на перерегулювання.
• I (Інтегральна) — накопичує минулу похибку, усуваючи усталену похибку (наприклад, рука робота, що трохи не дотягує до цілі через гравітацію чи тертя). Надто великий Ki спричиняє повільні коливання, коли накопичений інтеграл перерегульовує й мусить «розкручуватися» назад.
• D (Диференціальна) — реагує на швидкість зміни похибки, фактично демпфуючи реакцію ще до перерегулювання. Критично важлива для стабілізації всього, що має інерцію (обернений маятник, дрон), але посилює шум датчиків.

Накопичення інтегральної складової (windup) та anti-windup

Якщо виконавчий механізм насичується (наприклад, двигун вже на 100% потужності, а похибка залишається), інтегральна складова продовжує накопичуватися — «закручується» (windup) — далеко за межі потрібного. Коли похибка нарешті змінює знак, регулятор продовжує давати повну потужність у неправильному напрямку, доки закручений інтеграл не розкрутиться, спричиняючи велике перерегулювання.

update(setpoint, measured, dt) {
  const error = setpoint - measured;
  const pTerm = this.kp * error;
  const dTerm = this.kd * (error - this.prevError) / dt;
  this.prevError = error;

  // орієнтовний вихід без додавання нового інтеграла
  let u = pTerm + this.ki * this.integral + dTerm;
  const saturated = Math.abs(u) >= this.uMax;
  const sameSign = Math.sign(u) === Math.sign(error);

  // інтегруємо лише коли ЩЕ НЕ насичені в тому самому напрямку
  if (!(saturated && sameSign)) this.integral += error * dt;

  u = pTerm + this.ki * this.integral + dTerm;
  return Math.max(-this.uMax, Math.min(this.uMax, u));
}

Derivative kick і фільтрація

Коли уставка змінюється миттєво (ступінчаста команда), наївна похідна de/dt миттєво «стрибає», бо стрибає сама похибка — це називають derivative kick. Стандартне рішення — брати похідну від виміряного значення, а не від похибки (стрибок уставки не з'являється у виміряному сигналі):

Оскільки диференціальна складова також посилює високочастотний шум датчиків, реальні контролери пропускають її через фільтр низьких частот (часто достатньо простого експоненційного ковзного середнього) перед використанням.

Налаштування: Зіглер-Ніколс та ручне налаштування

Класичний метод Зіглера-Ніколса: встановіть Ki = Kd = 0, підвищуйте Kp, доки система не почне коливатися зі сталою, незгасаючою амплітудою — це граничний коефіцієнт Ku та період коливань Tu. Далі застосовують:

Зіглер-Ніколс дає агресивну відправну точку, часто занадто коливальну для делікатних робототехнічних задач. На практиці більшість інженерів вручну доналаштовують звідти: підвищують Kp, доки реакція швидка, але злегка коливальна, додають Kd, доки коливання не згасне, і додають невеликий Ki, лише якщо залишається усталена похибка.

Каскадне керування

Багато систем стабілізації в робототехніці використовують вкладені PID-контури замість одного плоского регулятора. Робот-балансир зазвичай каскадує: зовнішній контур керує кутом нахилу (уставка = вертикальне положення), вихід якого стає уставкою для внутрішнього, швидшого контуру, що керує швидкістю коліс, вихід якого стає струмом двигуна. Внутрішній контур працює з вищою частотою й відхиляє збурення (тертя двигуна, нерівна підлога), перш ніж вони взагалі досягнуть повільнішого, стратегічнішого зовнішнього контуру.

Приклад: баланс оберненого маятника

Обернений маятник на візку (класичний тестовий приклад «самобалансуючого робота») використовує PID на куті нахилу для обчислення команди прискорення візка:

const pid = new PID(60, 2, 8);   // Kp, Ki, Kd налаштовані для цього маятника

function controlLoop(dt) {
  const theta = pendulum.getTiltAngle();     // радіани від вертикалі
  const accelCmd = pid.update(0, theta, dt); // уставка = 0 (вертикально)
  cart.applyAcceleration(accelCmd);
  pendulum.step(dt);
}

Оскільки маятник має реальну інерцію, саме диференціальна складова насправді не дає йому перегойдатися через вертикаль — чисте P-керування оберненим маятником коливається зі зростаючою амплітудою, доки він не впаде; додавання D дає демпфування, потрібне для стабільної рівноваги.