Сфера Хілла та сфера впливу планет

1. Питання: чому Сонце не краде Місяць?

Гравітаційне притягання Сонця до Місяця насправді приблизно вдвічі сильніше, ніж земне — факт, що дивує більшість людей, коли вони вперше це обчислюють. Проте Місяць стабільно обертається навколо Землі понад чотири мільярди років. Розгадка не в силі однієї сили; вона у різниці між тим, як Сонце тягне Місяць, і тим, як воно тягне Землю. Оскільки Місяць і Земля близькі одне до одного порівняно з відстанню до Сонця, Сонце притягує їх обох майже однаково — і саме це майже-скасування, а не сира сила, визначає, чи здатна Земля утримати Місяць.

Це та сама обмежена задача трьох тіл, що породжує точки Лагранжа: маленьке тіло (Місяць) у сумарному полі двох великих тіл (Земля і Сонце), чию власну орбіту одне навколо одного ми вважаємо нерухомою для потреб розрахунку.

2. Формула сфери Хілла

Сфера Хілла (названа на честь американського астронома Джорджа Вільяма Хілла, який вивів її у 1878 році, вивчаючи рух Місяця) — це область навколо меншого тіла m, що обертається навколо більшого тіла M на відстані a, всередині якої власна гравітація m домінує над приливним тяжінням M:

Зверніть увагу на кубічний корінь: оскільки приливні сили спадають як 1/a³ (різниця двох сил 1/r², розділених малою базою), радіус Хілла плавно масштабується з відношенням мас — навіть різниця мас у 1000× зменшує сферу лише в десять разів.

/** Радіус сфери Хілла. Усі довжини в одній одиниці (напр. а.о.). */
function hillRadius(a, m, M) {
  return a * Math.cbrt(m / (3 * M));
}
// Земля навколо Сонця: a = 1 а.о., m = 3.0e-6 M_сонця
hillRadius(1, 3.0e-6, 1);  // ≈ 0.0098 а.о. ≈ 1.47 млн км

3. Чому радіус Хілла дорівнює відстані до L1/L2

Сфера Хілла — не окреме поняття від точок Лагранжа — це та сама фізика, розглянута з іншого кута. У круговій обмеженій задачі трьох тіл відстань від меншої маси m до точок L1 і L2 виражається, у першому наближенні за малим відношенням мас μ = m/M, так:

Це не збіг: L1 і L2 знаходяться майже точно на межі сфери Хілла, вздовж лінії, що з'єднує два великі тіла. Всередині цієї межі тестова частинка на орбіті відчуває гравітацію m сильніше, ніж приливне розтягування від M; у L1/L2 обидва ефекти врівноважуються. Сфера Хілла, по суті, є тривимірним узагальненням одновимірної відстані L1–L2.

4. Радіуси Хілла в Сонячній системі

Величезна сфера Хілла Юпітера — причина, чому він утримує десятки стабільних супутників і може захоплювати астероїди, що пролітають повз, як тимчасові «супутники» на десятиліття — його сфера домінування більша за орбіти більшості планет навколо Сонця.

5. Наближена сфера впливу (patched-conic)

Для потреб проєктування місій інженери часто використовують простішу, дещо іншу формулу: сферу впливу (SOI), що застосовується у класичному patched-conic наближенні для міжпланетних траєкторій (метод, який NASA використовувала для ранніх місій до того, як повне чисельне інтегрування стало рутиною):

SOI відповідає на дещо інше питання, ніж сфера Хілла: замість «де приливне розтягування переважає локальну гравітацію», вона питає «де відношення збурюючого прискорення до основного прискорення однакове з точки зору обох тіл» — визначення, підібране для зшивання двотільних дуг Кеплера, а не для опису довгострокової стабільності орбіти.

6. Стабільність супутників і практичний запас

Супутник, що знаходиться точно на радіусі Хілла, на практиці не є стабільним — збурення від власного ексцентриситету супутника, тиску сонячного випромінювання та інших планет зсувають його. Чисельні симуляції обмеженої задачі трьох тіл показують, що стабільні кругові орбіти потребують перебування в межах приблизно 1/3 до 1/2 радіуса Хілла:

Цей запас безпеки пояснює спостережувані системи супутників: навіть найвіддаленіші підтверджені неправильні супутники Юпітера обертаються добре всередині його сфери Хілла, і жоден природний супутник у Сонячній системі не знайдений на орбіті поблизу теоретичної межі. Той самий запас — причина, чому проєктувальники місій розміщують космічні апарати на «гало-орбітах» навколо L1/L2, а не точно у точці рівноваги — будь-яка орбіта, що наближається до справжньої межі гравітаційного домінування, стає дедалі складнішою для утримання без корекцій.