Точки Лагранжа — L1–L5, JWST, SOHO та троянські астероїди
У системі двох великих мас — скажімо, Сонця та Землі — є п'ять особливих положень, де мале третє тіло може обертатися в ідеальній синхронності з ними, зберігаючи своє положення відносно обох. Це точки Лагранжа: «місця для паркування», які використовують деякі з наших найважливіших космічних телескопів і які природним чином зайняли тисячі астероїдів.
Обмежена задача трьох тіл
Загальна задача трьох тіл — три тіла, що взаємодіють через гравітацію — у загальному випадку не має аналітичного розв'язку в замкненій формі. Анрі Пуанкаре довів у 1890 році, що її розв'язки хаотичні: крихітні зміни початкових умов призводять до кардинально різних результатів.
Обмежена задача трьох тіл (R3BP) спрощує це, припускаючи, що третє тіло має знехтувано малу масу й тому не впливає на орбіти двох центральних тіл. У такому формулюванні Жозеф-Луї Лагранж у 1772 році виявив, що існує рівно п'ять точок рівноваги, де сумарні гравітаційна та відцентрова сили на мале тіло точно врівноважуються — тож воно залишається нерухомим в обертовій системі відліку.
У співобертовій системі (що обертається разом з двома центральними тілами) ефективний потенціал Φeff включає як гравітаційні члени, так і відцентровий член:
Φeff(x,y) = −GM1/r1 − GM2/r2 − ½ω²(x²+y²)
r1, r2 = відстані від третього тіла до M1 та M2
ω = орбітальна кутова швидкість центральної системи
П'ять точок Лагранжа — це сідлові та екстремальні точки цього потенціалу (де ∇Φeff = 0).
Стала Якобі CJ = −2Φeff − v² зберігається для третього тіла — вона розбиває простір на доступні та заборонені області; межі звуться кривими нульової швидкості (або кривими Гілла) і використовуються для вивчення того, які траєкторії гравітаційно дозволені.
П'ять точок Лагранжа
Геометрія нижче описує систему Сонце–Земля, але ті самі точки існують для будь-якої системи двох тіл (Земля–Місяць, Юпітер–Сонце тощо).
Розташована на лінії, що з'єднує M1 та M2, між ними. Для Сонця–Землі: ~1.5 мільйона км у бік Сонця від Землі (близько 1% від 1 а.о.). Забезпечує безперешкодний огляд Сонця. Нестійка — потребує утримання положення. Тут перебувають: SOHO, DSCOVR, гало-орбіти навколо L1.
На лінії M1–M2, з протилежного від M1 боку M2. Для Сонця–Землі: ~1.5 мільйона км у бік від Сонця за Землею. Постійно затінена від Сонця Землею (з сонячним щитом). Нестійка. Тут перебувають: космічний телескоп Джеймса Вебба, Gaia, Planck, Herschel.
На лінії M1–M2, з протилежного від M2 боку M1 — прямо навпроти M2, якщо дивитися з M1. Для Сонця–Землі: трохи за Сонцем. Завжди прихована від Землі. Нестійка; практично непридатна для космічних апаратів. Історично місце фантастичної «Антиземлі».
Утворює рівносторонній трикутник з M1 та M2, випереджаючи M2 на 60° на його орбіті. Стійка за умови M1/M2 > 24.96. L4 Юпітера містить тисячі грецьких троянських астероїдів. L4 Землі містить астероїд 2010 TK7.
Рівносторонній трикутник з M1 та M2, відстаючи від M2 на 60°. Ті самі умови стійкості, що й для L4. L5 Юпітера містить тисячі троянських астероїдів (троянська група). Запропонована концепція космічної колонії/виробництва (циліндри О'Нілла) зазвичай вказувала на L4 або L5 Землі.
Стійкість: чому L4 та L5 працюють
Наївне міркування каже, що L1–L3 мають бути нестійкими: це сідлові точки ефективного потенціалу — кулька, розміщена точно там, скотиться геть за будь-якого збурення. L4 та L5 є локальними максимумами ефективного потенціалу, що звучить ще гірше.
Проте стійкість залежить не лише від потенціальної енергії. Насправді важать повні рівняння руху, включно з силою Коріоліса, наявною в обертовій системі. Лінеаризація рівнянь навколо L4/L5 дає характеристичне рівняння, власні значення якого визначають стійкість:
L4 та L5 стійкі (власні значення суто уявні ⇒ коливання, а не розбіжність) тоді й лише тоді, коли:
μ < μc = (1 − √(69)/9) / 2 ≈ 0.03852
де μ = M2/(M1+M2) — параметр маси.
Для Сонця–Землі: μ ≈ 3×10−6 ≪ μc → стійкі.
Для Сонця–Юпітера: μ ≈ 9.5×10−4 ≪ μc → стійкі.
Для Землі–Місяця: μ ≈ 0.012 < μc → стійкі.
Тіла поблизу L4/L5 зазнають двох накладених коливань: швидкої епіциклічної лібрації та повільної довгоперіодичної лібрації (пуголовкові та підковоподібні орбіти). Троянські астероїди рухаються пуголовковими орбітами — видовженими петлями з центром у L4 чи L5 в обертовій системі, наче пуголовок, що плаває навколо точки Лагранжа.
L1, L2 та L3 нестійкі: збурення наростають експоненційно з часом. Космічний апарат, розміщений там, віддалятиметься, якщо тільки не використовуватиме бортову рушійну установку (утримання положення), щоб періодично повертатися до точки. Характерний час відходу зазвичай становить від тижнів до місяців, що робить утримання положення керованим з невеликими витратами палива.
Реальні місії: JWST, SOHO, DSCOVR
Космічний телескоп Джеймса Вебба (L2)
JWST запустили на Різдво 2021 року, і він прибув у точку L2 системи Сонце–Земля через 30 днів. L2 ідеальна для інфрачервоного телескопа, бо:
- Сонячний щит (завбільшки з тенісний корт) пасивно блокує сонячне світло, утримуючи телескоп при −233 °C (40 K) — це необхідно для виявлення слабкого інфрачервоного випромінювання перших галактик без того, щоб власне теплове випромінювання телескопа перекривало сигнал.
- Земля, Місяць і Сонце всі залишаються приблизно в одному напрямку — щит прикриває всі три одночасно.
- L2 забезпечує безперешкодний огляд неба на 360° протягом року.
JWST не сидить точно в L2, а перебуває на великій гало-орбіті навколо неї (приблизно 800 000 км за амплітудою), уникаючи тіні Землі та Місяця, яка періодично перекривала б сонячне світло, потрібне для його сонячних панелей.
SOHO та DSCOVR (L1)
Сонячна та геліосферна обсерваторія (SOHO, 1995) та DSCOVR (2015) обертаються навколо точки L1 системи Сонце–Земля. L1 дає неперервний безперешкодний огляд Сонця з попередженням про сонячні бурі приблизно за 1 годину до того, як вони досягнуть Землі — критично для прогнозування космічної погоди та захисту супутників.
Інші місії в L2
L2 стала першокласним «майном» для космічних обсерваторій: Gaia (астрометрія), Planck (реліктове випромінювання), Herschel (далекий інфрачервоний та субміліметровий діапазони). Запропонований детектор гравітаційних хвиль LISA (Laser Interferometer Space Antenna) обертатиметься навколо Сонця в конфігурації, що відстає від Землі та пов'язана з геометрією L4/L5.
Троянські астероїди
Гравітаційне переважання Юпітера захопило тисячі астероїдів на стійкі орбіти поблизу його точок L4 (грецький табір, ~60° попереду) та L5 (троянський табір, ~60° позаду). Ці троянці Юпітера — це первинна речовина ранньої Сонячної системи — імовірно, містять органічні сполуки та водяний лід, збережені в зовнішній Сонячній системі — і разом можуть містити більше речовини, ніж увесь пояс астероїдів.
Місія NASA «Люсі» (запущена 2021 року) перебуває в 12-річній подорожі, щоб пролетіти повз сім троянських астероїдів, маючи на меті вивчити цю первинну речовину. Це буде перший космічний апарат, що відвідає троянців Юпітера.
Земля також має співорбітального супутника: 2010 TK7, астероїд ~300 м, що лібрує навколо точки L4 системи Сонце–Земля. Він рухається великою складною гібридною підково-пуголовковою орбітою і залишатиметься співорбітальним тисячоліттями. Нептун має понад 30 відомих троянців; Марс — щонайменше 9.
Сфера Гілла та сфера впливу
Сфера Гілла (також звана сферою Роша) — це область навколо тіла M2, у межах якої воно може утримувати супутники проти припливної сили переважного тіла M1. Її радіус приблизно дорівнює:
rH ≈ a (M2 / 3M1)1/3
a = орбітальна велика піввісь M2 навколо M1
Сфера Гілла Землі: rH ≈ 1.5 мільйона км (Місяць на 384 000 км перебуває значно всередині).
Сфера Гілла Юпітера: rH ≈ 53 мільйони км.
Точки L1 та L2 обидві лежать приблизно на краю сфери Гілла — що інтуїтивно зрозуміло: це найдальші положення, де третє тіло ще можна вважати «пов'язаним» з M2, а не захопленим M1.
Пов'язане поняття — сфера впливу (SOI), що використовується в плануванні траєкторій космічних апаратів: радіус, у межах якого гравітація планети переважає над гравітацією Сонця для цілей наближення траєкторій методом склеєних конік. SOIЗемля ≈ 924 000 км — трохи менша за сферу Гілла.
Спробуйте самі
- Симуляція орбітальної механіки — Дослідіть, як тіла обертаються навколо масивних центральних об'єктів. Регулюйте швидкості та додайте другу велику масу, щоб побачити, як гравітаційні збурення впливають на орбіти — це та сама фізика, що породжує точки Лагранжа.
- Симуляція подвійних зір — Подивіться, як два масивні тіла обертаються навколо спільного центра мас. У цій обертовій системі п'ять рівноваг точок Лагранжа існують між і навколо двох зір.
- Відхилення астероїда — Потренуйтеся відхиляти навколоземні астероїди — одні з найбільш релевантних реальних цілей — це ті, чиї орбіти перетинають орбіту Землі, іноді близько до геометрії L3 системи Сонце–Земля.