Задача двох тіл: аналітичне рішення

1. Чому гравітація N-тіл складна, а два тіла — ні

Закон тяжіння Ньютона легко записати для будь-якої кількості тіл — кожна пара притягується з силою, пропорційною G·m₁·m₂/r². Проблема — у розв'язанні отриманої системи диференціальних рівнянь. Для трьох і більше взаємно гравітуючих тіл не існує загального розв'язку у замкнутій формі — це знаменита задача трьох тіл, для якої Пуанкаре у 1889 році довів неінтегровність у загальному випадку. Саме тому існують симуляції на кшталт гравітації N-тіл: коли немає формули, ви просто крокуєте чисельно вперед.

Два тіла — єдиний виняток. З лише двома масами задачу можна звести до вже знайомого нам: одне тіло, що обертається навколо нерухомого центру — саме задача Кеплера зі статті про орбітальну механіку.

2. Зведення: від двох тіл до одного

Нехай два тіла з масами m₁ та m₂ мають вектори положення r₁ та r₂. Другий закон Ньютона та закон тяжіння дають два зв'язані векторні рівняння:

Визначимо відносне положення r = r₂ − r₁. Поділивши кожне рівняння на його масу і віднявши перше від другого, ми стискаємо обидва рівняння в одне:

У цьому вся хитрість: вектор відносної відстані r поводиться абсолютно так само, як тестова частинка, що обертається навколо нерухомого центру з сумарною масою m₁ + m₂. Усі інструменти із задачі Кеплера — еліпси, рівняння vis-viva, рівняння Кеплера — застосовуються без змін.

3. Приведена маса μ

Більш формальний (і більш загальний, що чисто узагальнюється на інші задачі двотільної сили) спосіб дійти того самого результату — використання приведеної маси:

Лагранжіан двох тіл чисто розділяється на рух центру мас (тривіальний — він рухається з постійною швидкістю або залишається нерухомим) плюс відносний рух фіктивної частинки з масою μ_прив у положенні r у потенціалі −G·m₁·m₂/r. Цей розподіл — одна проста частина, одна кеплерівська частина — і є причиною, чому задачу двох тіл називають інтегровною.

4. Рівняння відносного руху

З μ = G(m₁ + m₂) як гравітаційним параметром сумарної системи, відносна орбіта підпорядковується ідентичному кеплерівському апарату: вона накреслює конічний переріз (еліпс, параболу чи гіперболу — залежно від повної енергії) з

Останній рядок — критична поправка до одно-тільної задачі Кеплера: період залежить від суми обох мас, а не лише центральної. Для зоряної системи це має значення — подвійна система з двох зір сонячної маси обертається швидше при заданій відстані, ніж планета навколо однієї сонячної зорі, бо μ подвоюється.

5. Відновлення реальної орбіти кожного тіла

Розв'язавши r(t), ми отримуємо відносну відстань, а не реальні траєкторії двох тіл. Щоб відновити справжнє положення кожного тіла навколо спільного барицентра (центру мас), розділіть r обернено пропорційно до маси:

Обидва тіла накреслюють подібні еліпси (однаковий ексцентриситет, орієнтація, період) навколо барицентра, але масштабовані протилежною масовою часткою — важче тіло накреслює менший еліпс. Саме це рендерить симуляція подвійних зір: дві зорі, що обертаються навколо спільної, зазвичай невидимої, точки.

// Маючи відносну відстань r = {x, y} з розв'язку орбіти Кеплера
// з mu = G*(m1 + m2):
const f1 = m2 / (m1 + m2);
const f2 = m1 / (m1 + m2);
const r1 = { x: -f1 * r.x, y: -f1 * r.y };  // важче тіло → менша орбіта
const r2 = { x:  f2 * r.x, y:  f2 * r.y };  // легше тіло → більша орбіта

6. Барицентр та система центру мас

Саме положення центру мас,

рухається з постійною швидкістю (або залишається нерухомим, у системі відліку, яку використовує більшість симуляцій), бо на систему двох тіл не діють зовнішні сили — третій закон Ньютона робить так, що дві внутрішні гравітаційні сили точно скасовують одна одну в сумі. Саме тому ми можемо розділити задачу на «нудний» рух центру мас плюс «цікавий» відносний рух, не втративши жодної інформації: обидві частини повністю незалежні.

7. Чому три тіла ламають усе

Хитрість, яка зробила два тіла розв'язними — віднімання двох рівнянь руху для отримання одного чистого рівняння відносного руху — просто не працює з трьома тілами. Кожне тіло тепер відчуває два окремі, непаралельні гравітаційні тяжіння, і жодна алгебраїчна підстановка не стискає систему назад до одного рівняння, схожого на двотільне. Загальна задача трьох тіл не має розв'язку в замкнутій формі елементарних функцій; лише особливі симетричні випадки (як обмежена задача трьох тіл, що використовується для точок Лагранжа та сфер Хілла) допускають частковий аналітичний розгляд, і навіть вони потребують чисельного пошуку коренів для точних положень рівноваги.