Загальна теорія відносності — Викривлений простір-час і гравітація

1. Принцип еквівалентності

Шлях Ейнштейна до загальної теорії відносності почався з думкового експерименту, який він пізніше назвав «найщасливішою думкою мого життя»: людина, що вільно падає у гравітаційному полі, не відчуває гравітації. Людина в прискорюваній ракеті відчуває силу, нерозрізнену від гравітації. Це і є принцип еквівалентності:

• Слабкий принцип еквівалентності (WEP): інертна маса дорівнює гравітаційній масі. Усі тіла падають з однаковим прискоренням незалежно від складу. Перевірено Етвешем (1889) і сучасними експериментами з точністю до 1 частки на 10¹⁵.
• Ейнштейнівський принцип еквівалентності (EEP): у достатньо малій вільно падаючій лабораторії закони фізики збігаються із законами спеціальної теорії відносності — жоден локальний експеримент не може визначити, перебуваєте ви у вільному падінні біля маси чи літаєте у порожньому просторі.
• Сильний принцип еквівалентності (SEP): ця еквівалентність зберігається навіть для самогравітуючих тіл (наприклад, нейтронних зір), що перевірено лазерною локацією Місяця.

З EEP Ейнштейн вивів, що гравітація має викривляти світло (оскільки фотони рухаються по прямих лініях у вільно падаючих системах відліку, а такі системи прискорені відносно віддаленого спостерігача), і що годинники на різних гравітаційних потенціалах мають цокати з різною швидкістю. Обидва передбачення були зроблені заздалегідь і пізніше підтверджені експериментально.

2. Метричний тензор і геометрія простору-часу

У спеціальній теорії відносності інтервал простору-часу між двома подіями дорівнює:

У загальній теорії відносності простір-час викривлений. Інтервал набуває вигляду:

Метричний тензор відіграє ту роль, яку в ньютонівській теорії відігравав гравітаційний потенціал, але він містить 10 незалежних компонент (оскільки g_{μν} = g_{νμ}) і кодує водночас геометрію простору й перебіг часу. З g_{μν} обчислюють символи Крістоффеля Γ^λ_{μν} («зв'язність»), що описують, як вектори змінюються під час паралельного перенесення крізь викривлений простір-час.

Тензор кривини Рімана R^ρ_{σμν}, побудований з похідних символів Крістоффеля, вимірює кривину. Його згортки дають тензор Річчі R_{μν} та скаляр Річчі R, які фігурують у рівняннях поля Ейнштейна.

3. Рівняння геодезичної лінії та вільне падіння

У викривленому просторі-часі вільно падаючі частинки (без негравітаційних сил) рухаються по геодезичних лініях — узагальненню прямих ліній на викривлену геометрію. Рівняння геодезичної лінії:

У ньютонівській межі (слабка гравітація, малі швидкості) рівняння геодезичної лінії зводиться до другого закону Ньютона з гравітаційним прискоренням a = −∇Φ, де Φ — ньютонівський потенціал. Відповідність вимагає g₀₀ ≈ −(1 + 2Φ/c²), тому компонента метрики g₀₀ узагальнює ньютонівський потенціал.

Безмасові частинки (фотони) рухаються по нульових геодезичних лініях із ds² = 0. Рівняння геодезичної лінії визначає, як світло викривляється навколо масивних об'єктів — передбачення, підтверджене вимірюванням Едцінгтона під час сонячного затемнення 1919 року, яке одразу зробило Ейнштейна всесвітньо відомим.

4. Рівняння поля Ейнштейна

Центральні динамічні рівняння ЗТВ пов'язують кривину простору-часу з розподілом енергії та імпульсу:

Ці 10 зв'язаних нелінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних — одні з найскладніших у фізиці. Права частина кодує всі форми енергії й імпульсу (масу, тиск, потоки тепла, напруги); ліва частина кодує, як у відповідь викривляється простір-час. Знаменитий підсумок Вілера: «Матерія каже простору-часу, як викривлятися, а простір-час каже матерії, як рухатися».

5. Розв'язок Шварцшильда

Карл Шварцшильд знайшов перший точний розв'язок рівнянь Ейнштейна вже за кілька тижнів після публікації ЗТВ (і перебуваючи на російському фронті Першої світової війни). Він описує геометрію простору-часу навколо сферично симетричної, нерухомої, незарядженої маси M:

З'являються дві сингулярності — при r = R_s і при r = 0. Сингулярність при r = R_s — координатна сингулярність, яку можна усунути заміною координат (Едцінгтона-Фінкельстейна або Крускала-Секереша). Сингулярність при r = 0 — справжня сингулярність кривини, де приливні сили розходяться до нескінченності.

Орбітальна механіка в геометрії Шварцшильда

Геодезичні лінії в метриці Шварцшильда передбачають три знамениті ефекти ЗТВ:

• Прецесія перигелію: орбіта Меркурія прецесує на додаткові 43 кутові секунди за століття понад ньютонівські передбачення. ЗТВ дає точно 42,98 кутсек/століття — ідеальний збіг, підтверджений з точністю до 0,3%.
• Відхилення світла: фотон, що проходить біля Сонця, відхиляється на 1,75 кутової секунди — вдвічі більше за ньютонівське передбачення, підтверджене з 1919 року.
• Затримка Шапіро: радарні сигнали, що проходять поблизу Сонця, прибувають із запізненням ~200 мкс через додаткову довжину шляху крізь викривлений простір-час; виміряно з точністю 0,1% за допомогою апарата «Кассіні».

6. Гравітаційне уповільнення часу та червоне зміщення

Годинник на радіусі r у полі Шварцшильда цокає повільніше за годинник на нескінченності. Порівнюючи власний час dτ на радіусі r із координатним часом dt (швидкість перебігу на нескінченності):

Доповнюючий ефект — фотони втрачають енергію, вибираючись із гравітаційної ями, — це гравітаційне червоне зміщення. Фотон, випромінений з частотою f₀ з радіуса r₀ і прийнятий на нескінченності, має частоту:

7. Чорні діри

Коли маса стиснута всередину свого радіуса Шварцшильда, утворюється чорна діра. Поверхня r = R_s — це горизонт подій: жоден сигнал, жодна матерія, жоден фотон не можуть вирватися зсередини нього. Для зовнішнього спостерігача об'єкт, що падає до чорної діри, здається сповільнюється й червоніє до невидимості, наближаючись до горизонту — він так і не перетинає його за скінченний координатний час. Утім спостерігач, що падає всередину, перетинає горизонт подій за скінченний власний час, не відчуваючи нічого особливого на самому горизонті (для великої чорної діри приливні сили там слабкі).

Типи чорних дір

• Зоряні чорні діри (M ~ 3–100 M_⊙): утворюються при колапсі ядра масивних зір. Вперше виявлені через рентгенівські подвійні системи (Лебідь X-1, 1971).
• Надмасивні чорні діри (M ~ 10⁶–10¹⁰ M_⊙): перебувають у центрі майже кожної великої галактики. M87* (6,5 × 10⁹ M_⊙, R_s ≈ 19 мільярдів км) була сфотографована телескопом Event Horizon у 2019 році. Стрілець A* (4 × 10⁶ M_⊙) розташована у центрі Чумацького Шляху.
• Обертові чорні діри (метрика Керра): реалістичніші за метрику Шварцшильда; обертання породжує захоплення систем відліку (ефект Лензе-Тірінга) та ергосферу поза горизонтом, де сам простір-час захоплюється в обертання.

8. Гравітаційні хвилі

Рівняння поля Ейнштейна допускають хвилеподібні розв'язки — брижі кривини простору-часу, що поширюються зі швидкістю світла. Для слабкого збурення h_{μν} на тлі плаского простору-часу (g_{μν} = η_{μν} + h_{μν}, з |h_{μν}| ≪ 1) лінеаризовані рівняння поля дають:

Гравітаційні хвилі розтягують і стискають простір поперечно під час проходження. Дві поляризації h_+ та h_× деформують кільце пробних мас у почергові еліпси, повернуті одна щодо одної на 45°. Амплітуда характеризується деформацією h = ΔL/L — відносною зміною відстані між пробними масами.

14 вересня 2015 року обсерваторія LIGO зареєструвала першу подію гравітаційних хвиль GW150914: злиття двох чорних дір (36 M_⊙ і 29 M_⊙) на відстані 1,3 мільярда світлових років. Пікова деформація становила h ≈ 10⁻²¹ — зміна довжини на 10⁻¹⁸ м на 4-кілометрових плечах LIGO, що становить 1/1000 діаметра протона. Сигнал точно збігся з передбаченнями ЗТВ.

9. GPS: відносність у вашій кишені

Глобальна система позиціонування дає разючий повсякденний доказ того, що і спеціальна, і загальна теорія відносності реальні та необхідні. Супутники GPS обертаються на висоті h ≈ 20 200 км з орбітальною швидкістю v ≈ 3,87 км/с. Тут діють дві релятивістські поправки:

Годинники GPS попередньо налаштовані так, щоб цокати на 10,23 МГц × (1 − 4,465 × 10⁻¹⁰) ≈ 10,22999999543 МГц на землі, щоб цокати точно на 10,23 МГц на орбіті після врахування обох релятивістських поправок. Без цього налаштування похибки положення GPS зростали б приблизно на 11 км/добу, роблячи систему непридатною за лічені хвилини.

Це не абстрактний думковий експеримент — це інженерна релятивістська поправка, що безперервно працює в кожній супутниковій навігаційній системі на Землі. Загальна теорія відносності — не просто теоретично глибока концепція; це практична інженерна вимога.