Космологія — моделі Фрідмана, параметри густини та реліктове випромінювання

1. Рівняння Фрідмана

Застосування рівнянь поля Ейнштейна до Всесвіту, який вважається однорідним та ізотропним (космологічний принцип), дає рівняння Фрідмана, виведені незалежно Олександром Фрідманом у 1922 році та Жоржем Леметром у 1927 році. Перше рівняння пов'язує швидкість розширення з енергетичним вмістом Всесвіту:

Простими словами: квадрат швидкості розширення визначається тим, скільки «речей» (матерії, випромінювання, темної енергії) є у Всесвіті, мінус доданок просторової кривини. Усе, що стосується долі Всесвіту у великих масштабах, випливає саме з цього одного співвідношення.

2. Параметри густини: Ω_m, Ω_Λ, Ω_r, Ω_k

Зручно поділити рівняння на критичну густину ρ_crit — точну густину, за якої простір був би пласким (k=0) — і визначити безрозмірні параметри густини для кожного компонента:

Рівняння Фрідмана тоді переписується у чисту, безрозмірну форму, яка використовується безпосередньо в симуляціях:

Сучасні вимірювання (супутник Planck, 2018) дають для нашого Всесвіту приблизно такі значення:

3. Три долі: відкритий, плоский, закритий

Знак доданка кривини Ω_k, а також довгостроковий баланс між речовиною й темною енергією, визначають геометрію Всесвіту у великих масштабах та його остаточну долю:

• Закритий (k=+1, Ω_total > 1): сферична геометрія. Без темної енергії таке розширення врешті зупинилося б і призвело до «Великого стиснення». З додатною Λ, яку ми фактично спостерігаємо, навіть трохи закритий Всесвіт усе одно розширюється вічно.
• Плоский (k=0, Ω_total = 1): евклідова геометрія — паралельні лінії ніколи не перетинаються, сума кутів трикутника дорівнює 180°. Поточні дані узгоджуються з тим, що наш Всесвіт плоский із точністю приблизно до 0,4%.
• Відкритий (k=−1, Ω_total < 1): гіперболічна (сідлоподібна) геометрія, що розширюється вічно незалежно від темної енергії.

Оскільки Ω_Λ додатна і домінує сьогодні, наш конкретний Всесвіт перебуває у прискореному розширенні незалежно від того, яка саме з цих трьох геометрій виявиться точною — спостережувана майже-пласкість є окремим, додатковим результатом.

4. Масштабний фактор крізь космічну історію

Чисельне інтегрування H(a) = ȧ/a (простого замкненого виразу немає, коли враховані всі чотири компоненти) дає a(t) — масштабний фактор як функцію космічного часу — фактично «наскільки великий Всесвіт» у кожен момент, нормований на 1 сьогодні.

// Чисельне інтегрування рівняння Фрідмана для a(t)
function integrateScaleFactor(H0, omegaR, omegaM, omegaK, omegaL, tMaxGyr, steps = 2000) {
  const dt = tMaxGyr / steps;
  let a = 1e-8;  // починаємо глибоко в еру випромінювання
  const track = [{ t: 0, a }];

  for (let i = 1; i <= steps; i++) {
    const H = H0 * Math.sqrt(
      omegaR * Math.pow(a, -4) +
      omegaM * Math.pow(a, -3) +
      omegaK * Math.pow(a, -2) +
      omegaL
    );
    a += a * H * dt;             // da/dt = a * H(a)
    track.push({ t: i * dt, a });
  }
  return track;
}

З цього інтегрування природно випливають три режими: a ∝ t^(1/2) в еру домінування випромінювання, a ∝ t^(2/3) в еру домінування речовини та a ∝ e^(Ht) (експоненційне зростання), коли починає домінувати темна енергія — фаза, у яку Всесвіт увійшов кілька мільярдів років тому і яка визначатиме його далеке майбутнє.

5. Реліктове випромінювання

Перші ~380 000 років Всесвіт був гарячою, щільною плазмою з вільних електронів і фотонів, непрозорою для світла (фотони постійно розсіювалися на вільних електронах — розсіювання Томсона). Коли Всесвіт розширювався й охолоджувався нижче ~3000 К, електрони поєдналися з протонами, утворивши нейтральний водень (рекомбінація), і фотони раптово почали рухатися вільно — Всесвіт став прозорим.

Ці фотони, зазнавши червоного зміщення за наступні 13,8 мільярда років розширення, прибувають сьогодні як реліктове випромінювання (CMB): майже ідеальний спектр абсолютно чорного тіла з температурою T = 2,725 К, що майже рівномірно заповнює все небо. Випадково відкрите Пензіасом і Вілсоном у 1965 році (за що вони отримали Нобелівську премію 1978 року), реліктове випромінювання — це найдавніше світло, яке ми можемо спостерігати, — пряме зображення немовляти-Всесвіту.

6. Анізотропії та спектр потужності

Реліктове випромінювання не є ідеально однорідним: крихітні температурні флуктуації порядку ΔT/T ~ 10⁻⁵ (одна частка на 100 000) відображають варіації густини в ранньому Всесвіті — насіння, з якого пізніше під дією гравітації виросли галактики та скупчення галактик.

Розклавши ці флуктуації на сферичні гармоніки, отримуємо кутовий спектр потужності: графік сили флуктуацій залежно від кутового масштабу, що показує серію акустичних піків, спричинених звуковими хвилями у фотон-баріонній плазмі до рекомбінації. Положення й висота цих піків із дивовижною точністю кодують Ω_m, Ω_b (густину баріонів), Ω_k та сталу Хаббла — саме так місії WMAP і Planck фактично виміряли значення Ω з таблиці вище.

7. Симуляція карти неба CMB у Three.js

Симуляція реліктового випромінювання на цьому сайті рендерить температурні флуктуації як процедурно згенеровану текстуру, нанесену на внутрішню частину сфери (екіректангулярна «карта неба», всередині якої перебуває камера), розфарбовану за звичною червоно-синьою шкалою місії Planck.

// Генеруємо процедурну CMB-подібну карту температур із шарами simplex-шуму
function generateCMBTexture(width = 1024, height = 512) {
  const data = new Uint8Array(width * height * 4);
  for (let y = 0; y < height; y++) {
    for (let x = 0; x < width; x++) {
      // Кілька октав — імітує кутові масштаби акустичних піків
      let t = 0, amp = 1, freq = 1;
      for (let o = 0; o < 5; o++) {
        t += amp * simplex2(x * 0.01 * freq, y * 0.01 * freq);
        amp *= 0.55; freq *= 2.1;
      }
      // Перетворюємо t (~[-1,1]) у червоно-синю шкалу температур
      const idx = (y * width + x) * 4;
      const warm = Math.max(0, t);
      const cool = Math.max(0, -t);
      data[idx]   = 128 + warm * 127;   // R
      data[idx+1] = 128 - Math.abs(t) * 60; // G
      data[idx+2] = 128 + cool * 127;   // B
      data[idx+3] = 255;
    }
  }
  return new THREE.DataTexture(data, width, height, THREE.RGBAFormat);
}

const skyGeo = new THREE.SphereGeometry(500, 64, 32);
const skyMat = new THREE.MeshBasicMaterial({
  map: generateCMBTexture(),
  side: THREE.BackSide,  // камера перебуває всередині сфери
});
scene.add(new THREE.Mesh(skyGeo, skyMat));

Окреме 2D-накладення canvas малює графік кутового спектра потужності, дозволяючи порівняти навчальний повзунок Ω_m/Ω_Λ із еталонною кривою акустичних піків, вибудовуючи інтуїцію щодо того, як параметри густини зсувають положення й висоту піків.

8. Розширення та вдосконалення

• Інтерактивні повзунки Ω: вивести Ω_m, Ω_Λ і Ω_k у вигляді повзунків, що керують як інтегруванням масштабного фактора, так і відображеною міткою долі Всесвіту (розширюється вічно / стискається назад / межовий випадок).
• Накладення часу за червоним зміщенням: анотувати криву a(t) ключовими епохами — рекомбінацією (z≈1100), рівністю речовина-Λ (z≈0,3) та сьогоденням, зв'язуючи абстрактну криву з реліктовим випромінюванням і спостережуваними галактиками.
• Баріонні акустичні осциляції (BAO): розширити симуляцію, показавши «застиглий» відбиток тих самих звукових хвиль у сьогоднішньому розподілі галактик — другу, незалежну лінію доказів для тих самих значень Ω.
• Накладення реальних даних Planck: замінити процедурну текстуру шуму (зменшеною версією) реальних публічних карт температур CMB Planck для прямого порівняння з симульованим навчальним Всесвітом.