Коло · Еліпс · Парабола · Гіпербола — визначаються ексцентриситетом e = sin(θ)/sin(α)
Конічний переріз — це крива, що утворюється в місці перетину площини з подвійним конусом (два конуси, з'єднані вершинами). Залежно від кута січної площини відносно осі конуса виникають чотири різні криві: коло, еліпс, парабола або гіпербола. Це було вичерпно досліджено давньогрецьким математиком Аполлонієм Пергським близько 200 р. до н.е. у його трактаті «Конічні перерізи», де ці криві дістали свої назви й були виведені майже всі їхні базові властивості — без жодної алгебри.
Визначальною величиною є ексцентриситет, e = sin(θ)/sin(α), де θ — кут, який січна площина утворює з основою конуса (0° = горизонтальний переріз), а α — півкут конуса. Коли e = 0, переріз є колом; коли 0 < e < 1 — еліпсом; при точному e = 1 площина йде паралельно твірній конуса, утворюючи параболу; а коли e > 1, площина достатньо крута, щоб перетнути обидві порожнини конуса, утворюючи гіперболу.
Конічні перерізи — це далеко не абстрактна цікавинка: орбіти планет і супутників є еліпсами (перший закон Кеплера), парабола — це точна форма, яку описує кинуте тіло в однорідному гравітаційному полі (без урахування опору повітря), а також форма, яку використовують у супутникових тарілках і відбивачах автомобільних фар для фокусування паралельних променів у точку; гіперболи ж описують траєкторії тіл під час незв'язаного гравітаційного прольоту — наприклад, деяких комет та міжзоряних об'єктів, що проходять крізь Сонячну систему лише один раз.
Цей симулятор малює вигляд збоку подвійного конуса, розтятого площиною під регульованим кутом, і одночасно креслить отриманий конічний переріз — коло, еліпс, параболу або гіперболу — за його справжнім полярним рівнянням r = l/(1 + e·cos θ), де ексцентриситет e обчислюється безпосередньо з кута січної площини та півкута конуса.
Ліва панель відображає контур конуса та лінію, що представляє січну площину під обраним кутом θ. Права панель креслить справжню конічну криву за полярним рівнянням, керованим ексцентриситетом, тож форма кривої справді змінюється — від замкненого кола через еліпси до відкритої параболи й двогілкової гіперболи — у міру того, як ексцентриситет проходить через 0, а потім через 1.
Перетягніть повзунок Кут площини θ, щоб нахилити січну площину від плаского (0°, круговий переріз) до вертикального (90°, гіпербола). Регулюйте Півкут конуса α, щоб зробити конус гострішим або ширшим — це зсуває значення θ, при якому крива переходить від еліпса до параболи й гіперболи. Панель Показники відображає живий ексцентриситет і назву кривої.
Усі конічні перерізи можна описати одним-єдиним рівнянням, Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, де конкретний тип кривої повністю визначається знаком дискримінанта B² − 4AC: від'ємний дає еліпс (або коло), нульовий дає параболу, а додатний дає гіперболу — що точно збігається з межами e = 0, e = 1 і e > 1, використаними в цій симуляції.
Ексцентриситет e = sin(θ)/sin(α), де θ — кут січної площини від горизонталі, а α — півкут конуса. Значення e = 0 (плаский, горизонтальний переріз) дає коло, 0 < e < 1 дає еліпс, e = 1 (площина точно паралельна твірній конуса) дає параболу, а e > 1 дає гіперболу.
Коли січна площина нахилена так, що точно збігається з нахилом твірної поверхні конуса, отримана крива тягнеться в нескінченність в одному напрямку, ніколи не замикаючись в еліпс і не розділяючись на дві окремі гілки — це визначальна геометрична властивість параболи.
Коли січна площина достатньо крута (e > 1), вона перетинає одразу верхню й нижню порожнини подвійного конуса, утворюючи дві окремі дзеркально-симетричні криві — дві гілки гіперболи — замість однієї замкненої чи відкритої кривої.
Так. Коло — це граничний випадок еліпса, коли ексцентриситет точно дорівнює нулю, тобто обидва фокуси збігаються в центрі. Геометрично це відбувається, коли січна площина строго перпендикулярна осі конуса.
Орбіти планет і супутників є еліпсами, кинуті тіла в однорідному гравітаційному полі рухаються по параболічних траєкторіях, параболічні дзеркала й антени фокусують паралельні промені в одну точку, а гіперболічні траєкторії описують незв'язані прольоти — наприклад, деяких комет чи міжзоряних об'єктів, що проходять крізь Сонячну систему лише один раз.