Девлог #69 – Хвиля 49: мембранний транспорт, газ Ван-дер-Ваальса & ріст зерен

Хвиля 49 одним поглядом

Мембранний транспорт — рівняння Гольдмана-Ходжкіна-Катца

Кожен нейрон у стані спокою перебуває приблизно на рівні −70 мВ, тому що його мембрана вибірково проникна: K⁺ виходить назовні швидше, ніж Na⁺ проникає всередину. Кількісно це описується рівнянням напруги Гольдмана-Ходжкіна-Катца (GHK), виведеним у 1943–1949 роках шляхом незалежного розв'язання рівняння електродифузії Нернста-Планка для кожного проникного іона за припущення сталого електричного поля через мембрану:

V_m = (RT/F) · ln[(P_Na[Na]_зовн + P_K[K]_зовн + P_Cl[Cl]_внутр) / (P_Na[Na]_внутр + P_K[K]_внутр + P_Cl[Cl]_зовн)]

Зверніть увагу на асиметричний знак для Cl⁻: оскільки він несе негативний заряд, внутрішня та зовнішня концентрації переставлені місцями в чисельнику/знаменнику відносно катіонів.

Концентрації іонів та потенціали Нернста

Фізіологічні концентрації в стані спокою є канонічними:

• Na⁺: 145 мМ позаклітинно, 12 мМ внутрішньоклітинно → E_Na ≈ +67 мВ (рушійна сила всередину у стані спокою)
• K⁺: 4 мМ позаклітинно, 140 мМ внутрішньоклітинно → E_K ≈ −94 мВ (рушійна сила назовні у стані спокою)
• Cl⁻: 120 мМ позаклітинно, 4 мМ внутрішньоклітинно → E_Cl ≈ −89 мВ

Мембрана спокою перебуває на рівні −70 мВ, тому що P_K ≫ P_Na у стані спокою — клітина майже є калієвим електродом. Під час потенціалу дії потенціалзалежні канали Na⁺ короткочасно відкриваються, і P_Na різко зростає, зсуваючи V_m у бік +35 мВ.

Анімація та фізика частинок

Симуляція відображає поперечний переріз ліпідного бішару з фосфоліпідними головками (значки кола-лінії), що утворюють два листки. Частинки Na⁺ (сині), K⁺ (золоті) та Cl⁻ (зелені) відскакують у позаклітинному та внутрішньоклітинному компартментах. Кожна частинка отримує невеликий спрямований дрейф, пропорційний електрохімічній рушійній силі (V_m − E_іон), що створює чистий однонапрямлений потік через відкриті канали щоразу, коли мембрана зміщена від потенціалу Нернста цього іона. Помпа Na⁺/K⁺-АТФаза показана як фіолетовий білок, що обмінює 3 Na⁺ назовні на 2 K⁺ всередину за цикл, вносячи невеликий електрогенний струм.

Газ Ван-дер-Ваальса — побудова Максвелла та критична точка

Закон ідеального газу PV = nRT ігнорує міжмолекулярні притягання та кінцевий об'єм молекул. Ван-дер-Ваальс (1873) виправив обидва:

(P + a/V_m²)(V_m − b) = RT

Член a/V_m² представляє зниження тиску через сили притягання; b — це виключений об'єм (учетверо більший за об'єм молекули). За високих температур ізотерма монотонно спадає і поводиться як газ. Нижче критичної температури T_c ізотерма розвиває нефізичну «петлю Ван-дер-Ваальса» — область, де ∂P/∂V > 0 — яку потрібно замінити плоскою горизонтальною лінією зв'язку (двофазне співіснування), знайденою за правилом рівних площ Максвелла.

Критична точка та зведені змінні

Одночасне встановлення ∂P/∂V = 0 та ∂²P/∂V² = 0 дає:

T_c = 8a/(27Rb),  P_c = a/(27b²),  V_c = 3b

У зведених змінних (T_r = T/T_c, P_r = P/P_c, V_r = V/V_c) рівняння Ван-дер-Ваальса стає універсальним: усі речовини, що задовольняють припущенням VdW, підпорядковуються одному й тому ж рівнянню стану — це закон відповідних станів. Саме тому CO₂ та H₂O при T/T_c = 0.9 виглядають якісно подібно на діаграмі P-V.

Реалізація побудови Максвелла

Знаходження рівноважного тиску P_eq за заданої підкритичної T вимагає розв'язання кубічного рівняння. Ізотерма Ван-дер-Ваальса за V_m є зведеним кубічним рівнянням і нижче T_c має три дійсні корені (V_рід, V_спінодаль1, V_спінодаль2, V_пар). Тиск Максвелла задовольняє:

∫(V_рід до V_пар) P_VdW dV = P_eq · (V_пар − V_рід)

Симулятор використовує бінарний пошук P_eq (між P_min та P_max петлі), і для кожного кандидата P_eq розв'язує кубічне рівняння (P + a/V²)(V − b) = RT тригонометричним методом Кардано, щоб знайти всі три дійсні корені, а потім оцінює баланс площ. Збіжність до відносної точності 10⁻⁶ досягається менш ніж за 60 ітерацій.

Ріст зерен — кінетика мікроструктури та Холл-Петч

Коли холоднодеформований метал відпалюється, накопичена енергія деформації рухає міграцію меж зерен. Межі рухаються до свого центру кривизни, усуваючи дрібні зерна на користь великих. Макроскопічний закон (Берк і Тернбулл, 1952) є параболічним:

d̄² − d₀² = K(T) · t,  K(T) = K₀ exp(−Q/RT)

де Q — енергія активації міграції межі зерна (залежить від коефіцієнта дифузії найповільнішого виду у ґратці), K₀ — передекспоненційний множник, а R = 8.314 Дж/моль·К. Сталь має Q ≈ 280 кДж/моль; алюміній лише 142 кДж/моль, бо Al має вищу енергію дефекту упаковки, і його межі мігрують легше.

Зміцнення за Холлом-Петчем

Межі зерен блокують ковзання дислокацій. У 1951 році Холл і Петч незалежно показали, що межа текучості підпорядковується формулі:

σ_y = σ₀ + k_HP / √d̄

де σ₀ — напруження тертя об'ємної ґратки (незалежне від розміру зерна), а k_HP — матеріальна константа, що вимірює, наскільки важко передати ковзання через межу зерна. Для сталі k_HP ≈ 0.74 МПа·м^½; для алюмінію лише 0.07, оскільки межі зерен Al є слабшими бар'єрами.

Це означає, що щоразу, коли ви відпалюєте сталь при 1000 °C і подвоюєте середній діаметр зерна, ви вдвічі зменшуєте внесок Холла-Петча у межу текучості — прямий компроміс між технологічністю (грубі зерна легше формувати) та механічними властивостями (дрібніші зерна міцніші).

Візуальна мікроструктура

Ліве полотно використовує теселяцію Вороного, засіяну N₀ випадковими точками, для побудови початкової структури зерен. Кожне зерно отримує окремий пастельний колір; межі зерен відображаються майже чорним кольором. Під час анімації найдрібніші зерна поступово зливаються з найближчими сусідами шляхом переприсвоєння їхніх пікселів, якісно відтворюючи огрубіння, кероване кривизною. Праве полотно показує параболічну криву росту d̄(t) та логарифмічну криву σ_y(d) Холла-Петча — помаранчева точка на кожній з них позначає поточний стан симуляції.

Що далі

Чотири найслабші категорії — клітинна біологія, фізична хімія, матеріалознавство та імунологія — кожна була посилена в цій хвилі. Майбутні хвилі продовжать усувати подібні прогалини: заплановані симуляції охоплюють осмос та тургорний тиск (клітинна біологія), кінетику реакцій та графіки Арреніуса (фізична хімія), поширення втомних тріщин (матеріалознавство) та активацію каскаду комплементу (імунологія).