Девлог #56 – Хвиля 36: Мурашина колонія, Зонна структура та Колесо Лоренца

Статистика випуску

Нові симуляції

Мурашина колонія — нотатки з розробки

Алгоритм ACO

Мурашиний алгоритм оптимізації — це ймовірнісна метаевристика, натхненна стигмергічною поведінкою справжніх мурах. Кожна «мураха» в симуляції будує повний маршрут через усі 16 міст, повторно обираючи наступне місто за допомогою рулеточного відбору, зваженого так:

• p(i → j) = τijα · ηijβ / ∑ τikα · ηikβ

де τij — рівень феромону на ребрі (i, j), ηij = 1 / dist(i, j) — евристика (обернена відстань), а α і β — ваги, що керуються користувачем. Після того, як усі мурахи завершать свої маршрути, феромон випаровується:

• τij ← (1 − ρ) · τij (обмежено знизу на рівні 0.1, щоб запобігти повному зникненню)

після чого кожна мураха осаджує Q / tour_length на своїх ребрах, винагороджуючи коротші шляхи. Протягом 50–200 ітерацій колонія стабільно збігається до майже-оптимального маршруту.

Рендеринг феромонів

Ребра малюються з товщиною і прозорістю, пропорційними нормалізованому рівню феромону t = τij / τmax: товщина лінії = 0.5 + t × 3.5 пікселів, а альфа = t × 0.7 у смарагдовому кольорі #10b981. Поточний найкращий маршрут перемальовується щокадру суцільною лінією кольору #a7f3d0 товщиною 2, що робить переможний шлях одразу читабельним на тлі слабкого феромонного фону.

Керування та статистика

• Мурахи (10–120): розмір колонії за ітерацію.
• α (0.5–4): вага феромону — вищі значення підсилюють експлуатацію наявних стежок.
• β (0.5–5): вага евристики — вищі значення сприяють жадібним рухам до найближчого сусіда.
• ρ (0.01–0.3): швидкість випаровування — вищі значення швидше «забувають» старі маршрути.
• Q (10–200): сила осадження — масштабує осадження на одиницю довжини.
• Швидкість (1–8×): кількість ітерацій ACO на кадр анімації.

Панель статистики показує довжину найкращого маршруту (пікселів), кількість ітерацій, поточну середню довжину маршруту та відсоток покращення відносно початкового випадкового маршруту.

Зонна структура — нотатки з розробки

Діаграма E-k

Зона Бріллюена простягається від −π/a до +π/a по осі k. Для напівпровідникових матеріалів симуляція малює дві валентні зони (важкі та легкі дірки, обидві — параболи, що вигинаються вниз від k=0), а також відщеплену зону, зміщену на −0.3 еВ нижче верхньої межі валентної зони. Для матеріалів із непрямою забороненою зоною (Si, Ge) мінімум зони провідності зміщений до k ≈ ±0.45π/a; для GaAs із прямою забороненою зоною мінімум лежить при k=0.

Фермі-Дірак і легування

Рівень Фермі для власного напівпровідника закріплений приблизно посередині забороненої зони (E F = Eg/2). Повзунок легування лінійно зсуває його на ±0.4 еВ: легування «n-типу» (+) підіймає E F до зони провідності, збільшуючи концентрацію електронів; легування «p-типу» (−) опускає його до валентної зони, збільшуючи концентрацію дірок. Панель Фермі-Дірака візуалізує f(E) = 1 / (1 + exp((E − E F) / k T)) як криву в тому самому діапазоні енергій: при 0 K це ступінчаста функція, а при 1000 K — плавно округлена.

Густина станів

Панель густини станів (DOS) праворуч від діаграми E-k показує спрощену параболічну DOS для кожного енергетичного зрізу. Для напівпровідників DOS валентної зони пропорційна √(−E) нижче 0 еВ, а DOS зони провідності пропорційна √(E − Eg) вище Eg. Кожен рядок пікселів забарвлюється відповідно до заповненості за Фермі-Діраком: заповнені стани відображаються синім, порожні — темно-червоним, а перехідна область поблизу E F, розмита через тепловий розподіл, плавно переходить між ними.

Колесо Лоренца — нотатки з розробки

Рівняння руху

Лоренц (1963) вивів свою знамениту систему з трьох звичайних диференціальних рівнянь, моделюючи конвекцію Релея–Бенара. Малкус і Говард (1972) показали, що ті самі рівняння описують протікаюче водяне колесо: якщо вода в коробках a_n і b_n — це амплітуди Фур'є азимутального розподілу маси, а x, y, z — відповідні лінійні комбінації, система точно зводиться до:

• dx/dt = σ(y − x)
• dy/dt = x(r − z) − y
• dz/dt = xy − bz

де x пропорційний кутовій швидкості колеса, а y і z кодують асиметричний розподіл води. Інтегрування використовує метод Рунге-Кутта четвертого порядку з dt = 0.005.

Режими атрактора

Система має три якісно різні режими залежно від числа Релея r:

• r ≤ 1: єдина нерухома точка в початку координат — колесо завжди зупиняється.
• 1 < r < 24.74: дві стійкі нетривіальні нерухомі точки — колесо стабільно обертається в одному напрямку.
• r > 24.74: хаотичний атрактор — напрямок обертання непередбачувано змінюється, вимальовуючи дволопатевого «метелика» у фазовій площині x–z.

Три кнопки-пресети встановлюють r = 28 (хаотичний), 14 (стабільні нерухомі точки) та 24.7 (межа хаосу) відповідно.

Візуалізація водяного колеса

Дванадцять коробок рівномірно розташовані по колу радіусом 140 пікселів. Кожна коробка має рівень заповнення (0–1), показаний синьою дугою, обрізаною по колу коробки. На кожному кроці інтегрування вода капає в коробку, найближчу до верхньої точки колеса, тоді як усі коробки протікають пропорційно поточному рівню заповнення (імітуючи реальні отвори в коробках). Кут обертання колеса збільшується на x × dt × 0.15 на кожному кроці, тож візуальний кут — це прямий інтеграл змінної x системи Лоренца. Зелена/червона дуга по обіду колеса показує поточний напрямок обертання (±x).

Українські переклади

Усі три симуляції доступні українською за адресами /uk/ant-colony/, /uk/band-structure/ та /uk/lorenz-waterwheel/. Основні перекладені рядки включають:

• Мурашина колонія: “Мурашина Колонія”, “Вага феромону”, “Вага відстані”, “Випаровування”, “Осадження”, “Новий граф”, “Скинути”.
• Зонна структура: “Зонна структура”, “Валентна зона”, “Зона провідності”, “Заборонена зона”, “Рівень Фермі”, “Легування”, “Власний”.
• Колесо Лоренца: “Колесо Лоренца”, “Атрактор Лоренца”, “Число Релея”, “Пауза”/“Грати”, “Скинути”, “Хаотичний”.

Що далі — анонс Хвилі 37

Список ідей продовжує рости. Кандидати на Хвилю 37 включають:

• SVD-стиснення — сингулярний розклад, застосований до стиснення зображень; спостерігайте, як якість відновлення покращується зі зростанням рангу (лінійна алгебра / обробка сигналів).
• Z-пінч — плазмовий стовп, що самостискається під власним магнітним полем; візуалізація нестійкості Релея–Тейлора (фізика плазми).
• Поверхня потенційної енергії — двовимірна контурна карта молекулярного ландшафту потенційної енергії з оптимізацією шляху реакції (фізична хімія / обчислювальна хімія).

Усі симуляції Хвилі 37 вийдуть з EN- і UK-сторінками в день релізу.