Девлог №57 – Хвиля 37: SVD-стиснення, Z-пінч & Поверхня потенціальної енергії

Статистика релізу

Нові симуляції

SVD-стиснення — Нотатки з розробки

SVD методом степеневої ітерації

Замість реалізації повного алгоритму Голуба-Райнша (неприйнятно повільного в JavaScript для N=64) симулятор використовує послідовну степеневу ітерацію з дефляцією. Для кожної компоненти c знаходиться домінантний лівий сингулярний вектор матриці залишку R = A − Σi<c σiuiviT через 40 ітерацій почергового u = R v / ‖R v‖ та v = RTu / ‖RTu‖, після чого залишок дефлюється. Усі 64 компоненти обчислюються один раз при завантаженні зображення; надалі оновлення повзунка рангу відбувається миттєво.

Панель статистики

Чотири статистики в реальному часі відстежують компроміс між якістю та стисненням:

• Ранг k: кількість збережених сингулярних векторів.
• Захоплена дисперсія: Σi≤kσi2 / Σiσi2 — зазвичай >99 % уже при ранзі 20 для гладких зображень.
• Коефіцієнт стиснення: k(m+n+1) / (mn) — значення нижче 1 означають, що формат SVD використовує менше чисел, ніж сира сітка пікселів.
• Похибка Фробеніуса: ‖A − Ak‖F = √(Σi>kσi2) — теорема Еккарта-Янга гарантує, що це мінімально можлива похибка для будь-якої матриці рангу-k.

Тестові зразки

Шість вбудованих зразків перевіряють SVD на різних внутрішніх рангах. Шахова дошка по суті є сигналом рангу 8 (8 просторових частот), тому ранг=8 уже дає майже ідеальну реконструкцію. Зображення шум має повний ранг 64, бо випадкові пікселі не мають надлишкової структури — сингулярні значення спадають повільно, і потрібно багато компонент, щоб суттєво зменшити похибку. Гладкі зображення на кшталт градієнта стискаються надзвичайно добре: ранг=2 часто захоплює >95 % дисперсії.

Z-пінч — Нотатки з розробки

Фізична модель

У реальному Z-пінчі осьова густина струму J_z створює азимутальне магнітне поле B_θ = μ₀I / (2πr). Виникаюча спрямована всередину сила Лоренца F = J × B стискає плазму радіально. Рівновага описується співвідношенням Беннета: I2 = 8πNkT (у гауссових одиницях), що дає рівноважний радіус Req ∝ √T / I. Вищий струм або нижча температура створюють щільніший пінч.

Режими нестійкості

Симулюються два класичні МГД-режими нестійкості:

• Нестійкість типу «ковбаса» (m=0): азимутально симетричне збурення, що стискає стовп у почергові товсті та тонкі ділянки. Звуження посилює локальне поле та пінч-силу, підсилюючи збурення — нестабільно. Кожен із 32 осьових сегментів коливається до цільового радіуса, керованого Req(1 + ε · sin(kzz + t)).
• Кінк-нестійкість (m=1): стовп загалом вигинається вбік. Застосовується до кожного сегмента як синусоїдальне бокове зміщення dx ∝ ε · sin(2kz + 0.7t). Швидкість росту становить ≈ 0.6 × від швидкості «ковбаси», відображаючи менший градієнт магнітного тиску для режиму m=1.

Швидкість росту залежить від струму та температури через γ ∝ I / (√T · Req), тому плазма з високим струмом і низькою температурою значно нестабільніша.

Плазмовий параметр β

Плазмовий параметр β = 2μ₀nkT/B² — відношення теплового тиску до магнітного. Плазма з високим β термічно домінантна й чинить опір стисненню; плазма з низьким β магнітно домінована. Симулятор повідомляє значення β в реальному часі, наочно показуючи, як зміна I та T переміщує вас через цю межу.

Поверхня потенціальної енергії — Нотатки з розробки

Потенціал Мюллера-Брауна

Потенціал Мюллера-Брауна (1979) — стандартний еталонний ПЕЕ у обчислювальній хімії. Це сума чотирьох гаусових доданків:

• V(x,y) = Σi=14 Ai exp[ai(x−x0i)2 + bi(x−x0i)(y−y0i) + ci(y−y0i)2]

із параметрами (A, a, b, c, x₀, y₀) = (−200, −1, 0, −10, 1, 0), (−100, −1, 0, −10, 0, 0.5), (−170, −6.5, 11, −6.5, −0.5, 1.5), (15, 0.7, 0.6, 0.7, −1, 1). Це дає три локальні мінімуми (R, I, P) та дві сідлові точки першого порядку (TS1 між R і P, TS2 між P і I).

Динаміка частинки

Частинка підпорядковується рівнянню Ланжевена: m&ddot;x = −∇V − γ˙x + √(2kBT) · ξ(t) де ξ — гаусів білий шум. За нульової температури й високого тертя траєкторія слідує внутрішній координаті реакції (IRC) — шляху найкрутішого спуску від сідлової точки до сусідніх мінімумів. За скінченної температури частинка може перетинати бар'єри зі швидкістю ∝ exp(−E_a/kT) (Арреніус), роблячи спонтанні перескоки між ямами видимими за високих значень температури.

Рендеринг

Кольорова карта ПЕЕ та контурні лінії растеризуються один раз на позаекранному полотні при завантаженні сторінки (і щоразу, коли змінюється масштаб бар'єра). Витягування 20-рівневих контурів використовує спрощене горизонтальне сканування методом marching squares: для кожного рядка позначаються горизонтальні краї, де потенціал перетинає цільову ізолінію, і вони рендеряться як напівпрозорі білі лінії. Основний цикл рендерингу потім малює лише позаекранне зображення, маркери особливих точок, слід частинки (пунктирний бурштиновий) і саму частинку — підтримуючи плавну анімацію 60 кадрів за секунду.

Технічні примітки

Усі три симуляції — самодостатні односторінкові файли HTML5/CSS/JS без залежностей, окрім спільних компонентів навігації/підвалу, вже наявних на платформі. Обчислення SVD виконується синхронно при завантаженні сторінки для зображення 64×64 (64 кроки дефляції, кожен із 40 степеневими ітераціями) менш ніж за 200 мс на сучасному ноутбуці. Позаекранний рендер ПЕЕ за типових розмірів вікна перегляду завершується менш ніж за 100 мс. Z-пінч оновлює 3 фізичні кроки на кадр анімації, забезпечуючи плавну на вигляд динаміку 60 кадрів за секунду без перевантаження основного потоку.

Теги

Лінійна алгебра SVD Стиснення зображень Фізика плазми Z-пінч МГД-нестійкості Фізична хімія Поверхня потенціальної енергії Реакційна динаміка Перехідний стан Хвиля 37