Хвиля 28: дебаївське екранування, баєсівське оновлення та інтерферометр Фабрі–Перо

Статистика платформи

Хвиля 28 коротко

Дебаївське екранування

У плазмі вільні електрони скупчуються навколо позитивних пробних зарядів і експоненційно пригнічують електростатичне поле за межами довжини Дебая:

λ_D = √(ε₀ k_B T / n e²)     φ(r) = Ze/(4πε₀r) · exp(−r/λ_D)

Симуляція пропонує три взаємодоповнювані перегляди:

• Профіль потенціалу — накладення в логарифмічному масштабі екранованого потенціалу Юкави та «голого» кулонівського 1/r, з позначкою λ_D.
• Хмара екранування — 2D-карта кольорів ImageData для φ(r) у перерізі. Теплий бурштиновий колір — високий потенціал, темно-синій — повністю екрановано.
• Сфера Дебая — схема, що показує радіус λ_D, популяцію крапок-електронів (обмежену 120 для продуктивності), та перевірку валідності N_D ≫ 1.

Елементи керування виставляють log₁₀ n (м⁻³), температуру T в еВ і заряд Z. Інформаційна панель показує λ_D в одиницях СІ (від пм до мкм залежно від густини), N_D, ω_p та параметр зв'язку Γ = e²/(4πε₀ a k_BT), де a = n^−1/3.

Баєсівське оновлення

Модель бета-біноміального розподілу — класична спряжена пара для висновків про пропорцію. Оберіть апріорний розподіл Beta(α, β) — що кодує α псевдо-«орлів» і β псевдо-«решок», спостережених до експерименту — а потім підкидайте монету з істинним зміщенням p, встановленим повзунком (прихованим від «баєсівця»). Після k «орлів» з n підкидань апостеріорний розподіл обчислюється аналітично:

Апостеріорний = Beta(α + k,  β + n − k)

Полотно безперервно малює обидва розподіли, з бурштиновою лінією для істинного p та бірюзовим 95% довірчим інтервалом, обчисленим через регуляризовану неповну бета-функцію (ланцюговий дріб Лентца, 80-ітераційна бісекція для квантилів). Чотири швидкості підкидання та журнал підкидань на 500 записів з кольоровим кодуванням дають змогу з першого погляду побачити збіжність.

Інтерферометр Фабрі–Перо

Еталон Фабрі–Перо — це пара паралельних, частково відбивних дзеркал, розділених відстанню d. Світло, що відбивається туди-сюди, інтерферує конструктивно лише тоді, коли фаза за один прохід δ = 4πnd·cos(θ)/λ кратна 2π, породжуючи гострі резонансні піки, що описуються функцією Ейрі:

T(λ) = 1 / (1 + F · sin²(δ/2))    F = 4R/(1−R)²

Симуляція візуалізує спектр пропускання, вільну спектральну область FSR = λ²/(2nd) та різкість ℱ = π√R/(1−R), яка кількісно визначає гостроту піків. Повзунки дозволяють змінювати відбивність дзеркал R, довжину порожнини d, показник заломлення n і кут падіння θ, щоб напряму спостерігати, як кожен параметр впливає на структуру резонансу.

Інженерні нотатки

Дебаївське екранування: форматування значень з урахуванням одиниць СІ

Густина плазми охоплює діапазон від лабораторних розрядів (~10²⁰ м⁻³) до надр зірок (~10³² м⁻³), тож довжина Дебая коливається від мікрометрів до фемтометрів. Замість друку сирого наукового запису, легка функція fmtSI(v, unit) автоматично підбирає префікс СІ (f, p, n, µ, m, k, M, …), обчислюючи floor(log10(v)/3). Псевдовипадковий генератор Mulberry32 із фіксованим зерном забезпечує відтворюваність крапок електронів у перегляді сфери Дебая при зміні повзунків.

Баєсівське оновлення: неповна бета-функція через ланцюговий дріб Лентца

Обчислення 95% довірчих інтервалів вимагає оберненої регуляризованої неповної бета-функції I_x(a, b). Пряма функція розподілу використовує модифікований ланцюговий дріб Лентца (200 ітерацій, поріг збіжності 10⁻¹²), зі стандартною тотожністю симетрії I_x(a,b) = 1 − I_1−x(b,a) для вибору числово стабільнішої гілки. Квантиль розв'язується бісекцією по I_x (80 ітерацій, збіжність до 8 значущих цифр на одиничному інтервалі). Обчислювач logGamma використовує 7-членну апроксимацію Ланцоша, підтримуючи α, β до 0.5 без переповнення.

Фабрі–Перо: плавний рендеринг різкості для будь-якого R

Для високої відбивності (R → 0.99) піки Ейрі стають надзвичайно вузькими (ℱ → 300). Для їх достовірного відображення потрібно принаймні ~20 точок вибірки на пік. Симуляція адаптивно підвищує роздільну здатність за довжиною хвилі поблизу піків, спершу вибираючи грубу роздільну здатність, знаходячи мінімуми (1 − T), а потім вставляючи уточнені підвибірки між сусідніми мінімумами. Це утримує загальну кількість обчислень нижче 2000 навіть за максимальної різкості, добре вкладаючись в один кадр анімації.

Що далі — анонс хвилі 29

Заплановані теми для хвилі 29:

• Візуалізатор ряду Тейлора — інтерактивна анімація поліноміальної апроксимації N-го порядку для sin, cos, exp, ln, зі смугою похибки
• Нейрон Ходжкіна–Хакслі — потенціал дії на основі провідності, змінні воріт m/h/n, інтегрування ОДР методом Ейлера
• Фазовий перехід моделі Ізінга — 2D Монте-Карло методом Метрополіса–Гастінгса, спонтанна намагніченість, критична температура T_c = 2J/k_B ln(1+√2)

Усі симуляції хвилі 29 вийдуть у день запуску одразу з версіями EN + UK.