Девлог #47 — Хвиля 27: квантове тунелювання, завихореність…

Статистика платформи

461Симуляцій

75Категорій

47Девлогів

27Хвиль

EN+UKУсі сторінки

Хвиля 27 коротко

Ця хвиля свідомо перетинає межі дисциплін. Квантове тунелювання — ключова тема сучасної фізики з глибокими технологічними застосуваннями. Нестійкість Кельвіна–Гельмгольца — архетип гідродинамічної зсувної нестійкості, актуальний як для кухонної хімії, так і для астрофізики зірок. А еволюційна теорія ігор — це математична мова стратегічної взаємодії, співпраці та виникнення соціальних норм.

Квантове тунелювання — квантова механіка (точна), ★★★
Завихореність рідини та нестійкість Кельвіна–Гельмгольца — гідродинаміка, ★★★
Еволюційна теорія ігор — дилема в'язня — соціум / складність, ★★☆

Нова симуляція: квантове тунелювання

⛛️ Квантове тунелювання — рівняння Шредінгера та T(E)

Квантова частинка, що падає на класично заборонений потенціальний бар'єр, має ненульову ймовірність опинитися по інший бік. Ця симуляція точно розв'язує 1D стаціонарне рівняння Шредінгера за допомогою методу трансфер-матриці (TMM), обчислюючи коефіцієнт пропускання T(E) і повний профіль хвильової функції |ψ|² вздовж бар'єра в реальному часі при русі повзунків.

Три режими

Прямокутний бар'єр — канонічний випадок з експоненційним спадом усередині
Подвійний бар'єр — резонансне тунелювання: T = 1 при дискретних енергіях (основа тунельного діода)
Сходинковий потенціал — квантове відбиття навіть вище сходинки

Метод трансфер-матриці

Для кожної кусково-сталої області потенціалу V_i і ширини d_i хвильова функція має вигляд ψ_i(x) = A_i e^ik_ix + B_i e^−ik_ix, де k_i = √(2m(E−V_i)/ℏ²) (дійсне, якщо E > V_i, уявне для тунелювання). Граничні умови (неперервність ψ та ψ′) на кожній межі кодуються як матриця 2×2. Загальна трансфер-матриця M = M_N … M₁ дає t = 1/M₀₀ і r = M₁₀/M₀₀.

Для одиночного прямокутного бар'єра (E < V₀): T = [1 + V₀² sinh²(κd) / (4E(V₀-E))]⁻¹ κ = \sqrt(2m(V₀-E)) / ℏ [швидкість спаду в бар'єрі, нм⁻¹] Наближення ВКБ: T \approx exp(-2κd) Умова резонансного тунелювання (подвійний бар'єр): k\cdotL = nπ (n = 1, 2, \dots), де L = ширина проміжку

Панель кривої T(E) сканує 400 точок енергії від 0 до 2V₀ при кожній зміні параметра. Для випадку з подвійним бар'єром резонансні піки (T = 1) видно при дискретних власних значеннях квантової ями, утвореної між двома бар'єрами — та сама фізика, завдяки якій працюють резонансно-тунельні діоди (RTD).

рівняння Шредінгератрансфер-матриця T(E)ВКБ подвійний бар'єррезонансне тунелювання

Нова симуляція: завихореність рідини та нестійкість Кельвіна–Гельмгольца

🌊 Завихореність рідини та нестійкість Кельвіна–Гельмгольца

Розташуйте N точкових вихорів у ряд уздовж зсувної межі та спостерігайте, як вони згортаються в характерні спіралі — нестійкість Кельвіна–Гельмгольца (КГ). Це одне з найбільш універсальних явищ у гідродинаміці: той самий механізм закручування створює хмарні вали, шари перемішування в океані, струмені сонячної корони та турбулентність на межі акреційних дисків навколо чорних дір.

Фізика: закон Біо–Савара для точкових вихорів

Неперервний вихровий шар з поверхневою завихореністю ω(x) наближається N дискретними точковими вихорами циркуляції Γ. Індукована швидкість у вихорі i від усіх інших вихорів j обчислюється за 2D законом Біо–Савара (регуляризованим скінченним ядром ε, щоб запобігти чисельному вибуху при близьких зближеннях):

u_x(i) = −Σ_j Γ_j · (y_i − y_j) / (2π · r²_ij), де r²_ij = |r_i − r_j|² + ε² u_y(i) = +Σ_j Γ_j · (x_i − x_j) / (2π · r²_ij) Лінійна стійкість: збурення хвильового числа k зростає як e^{σt} σ = |Γ| · k / (4π) [швидкість росту Кадена–Біркгофа] Періодична межа: зображення вихорів у x ± L, ±2L, ±3L підсумовуються для періодичності

Інтегрування використовує явну схему Ейлера (з налаштовуваним кроком dt). Кожен кадр анімації просуває 3 підкроки для плавного візуального згортання. Сліди вихорів (кільцевий буфер на 45 кадрів) простежують лагранжеві траєкторії, роблячи спіральне згортання візуально виразним. Розріджений накладений шар поля швидкості (перемальовується кожні 3 кадри) показує індуковану картину течії.

Три початкові умови

Одиночний шар — N позитивних вихорів уздовж y = 0.5 із синусоїдальним + випадковим збуренням → класичне згортання КГ
Подвійний шар — протилежно обертовий ряд над ним → вихрова доріжка Кармана
Випадкові вихори — хаотична суміш вихорів ±Γ → турбулентоподібна взаємодія

Кельвін–Гельмгольцвихровий шар Біо–Саварзсувна нестійкість точковий вихордоріжка Кармана

Нова симуляція: еволюційна теорія ігор

🤝 Еволюційна теорія ігор — дилема в'язня

Просторова еволюційна симуляція ітерованої дилеми в'язня на 2D сітці. Кожна клітина приймає одну з п'яти стратегій — ALL-D (завжди зраджувати), ALL-C (завжди співпрацювати), «Око за око» (TFT), «Похмура відплата» (GRIM) та RAND — і змагається з вісьмома сусідами. Після кожного покоління кожна клітина копіює стратегію свого найуспішнішого сусіда. Мутація вносить випадкові зміни стратегії.

Матриця виграшів (стандартна дилема в'язня)

R (обидва співпрацюють) = 3 T (спокуса зрадити) = 5 P (обидва зраджують) = 1 S (виграш «простака») = 0 Умова: T > R > P > S (стандартний порядок ДВ) Рівновага Неша: (ALL-D, ALL-D) [взаємна зрада] Еволюційна стійкість: TFT може вторгнутися й утриматися проти ALL-D у просторових іграх

Просторова структура тут ключова: у добре перемішаній популяції ALL-D завжди перемагає. Але на решітці кластери TFT і GRIM можуть чинити опір вторгненню, формуючи кооперативні блоки, де зрадників карають сусіди. Це результат Новака та Мея 1992 року (Nature 359:826), який показав, що сама просторова структура може підтримувати співпрацю без спорідненого добору чи повторюваної взаємодії на рівні популяції.

дилема в'язняоко за око рівновага Нешаеволюційна стійкість Новак–Мей 1992просторові ігри

Інженерні нотатки

Трансфер-матриця: комплексна арифметика на чистому JS

TMM вимагає множення матриць 2×2 з комплексними елементами, включно з областями, де k = iκ суто уявне (експоненційний спад усередині бар'єра). Замість імпорту бібліотеки комплексних чисел усі операції вбудовані як прості двокомпонентні структури {re, im} з явними допоміжними функціями множення/додавання. 400-точкове сканування T(E) завершується менш ніж за 4 мс на типовому обладнанні, що досить швидко, щоб викликатися при кожній події повзунка без debounce.

Вихровий шар: періодичний закон Біо–Савара

Для вихрового шару з періодичною межею наївна сума O(N²) по всіх парах уже охоплює 7 періодичних зображень (k = −3…+3 по x). При N = 32 це 32 × 31 × 7 = 6944 обчислення на підкрок, що добре вкладається в бюджет кадру. Представлення Float64Array утримує доступ до пам'яті зручним для кешу і уникає накладних витрат об'єктів JavaScript у внутрішньому циклі.

Сітка теорії ігор: типізовані масиви на повноекранному canvas

Еволюційна сітка використовує два буфери Uint8Array (поточне та наступне покоління) і обмінює їх кожен кадр. Роздільна здатність сітки обчислюється з розміру canvas при ініціалізації (CELL = 10 пкс), даючи приблизно 120 × 65 = 7800 клітин на типовому десктопі. Кожна клітина оцінює виграші проти всіх 8 сусідів приблизно за 8 додавань на раунд, даючи складність O(N × раундів_на_покоління) — достатньо швидко для плавної анімації на 60 кадрів/с навіть при максимальних налаштуваннях повзунків.

Що далі — анонс хвилі 28

Заплановані теми для хвилі 28:

Дебаївське екранування — дебаївська довжина плазми, екранований кулонівський потенціал, плазмова частота
Баєсівське оновлення — від апріорного до апостеріорного розподілу з біноміальною правдоподібністю, спряжений бета-розподіл, довірчі інтервали
Інтерферометр Фабрі–Перо — функція Ейрі, вільна спектральна область, різкість, багатопроменева інтерференція в резонансній порожнині

Усі симуляції хвилі 28 вийдуть у день запуску одразу з версіями EN + UK.