Зрізаний тетраедр · Кубооктаедр · Зрізаний куб · Зрізаний октаедр · Ікосододекаедр
Перетягніть полотно, щоб обертати вручну.
Архімедові тіла — це 13 опуклих напівправильних многогранників: кожна грань є правильним багатокутником, але (на відміну від Платонових тіл) у кожній вершині зустрічаються два або більше різних типи багатокутників — і кожна вершина оточена ідентично (вони є вершинно-транзитивними). Цей симулятор генерує п'ять з них — зрізаний тетраедр, кубооктаедр, зрізаний куб, зрізаний октаедр та ікосододекаедр — геометрично, зрізаючи кути відповідного Платонового тіла (тетраедра, куба чи октаедра) площиною в кожній вершині — процес, що зветься зрізанням вершин.
Примітка щодо точності: коефіцієнт зрізання, що використовується тут, є фіксованим, спрощеним значенням, а не точним Архімедовим коефіцієнтом, необхідним для ідеально правильних граней при кожному зрізі. Отримані форми топологічно ідентичні справжнім Архімедовим тілам (ті самі кількості V, E, F, той самий патерн суміжності граней) і візуально дуже близькі, але вісімкутники та шестикутники лише приблизно правильні. Це навмисне спрощення для інтерактивної геометричної демонстрації, а не точна CAD-модель.
Кубооктаедр утворюється зрізанням куба точно посередині кожного ребра ("ректифікація") — він має те саме розташування вершин незалежно від того, чи починати з куба, чи з октаедра, оскільки ці два тіла є подвійними одне до одного. Зрізаний октаедр — єдине Архімедове тіло, що самостійно замощує тривимірний простір без прогалин, форма, яка використовується для моделювання найщільнішого можливого пакування бульбашок піни (гіпотеза Кельвіна). Геодезичні куполи Бакмінстера Фуллера та класичний чорно-білий візерунок футбольного м'яча обидва запозичують ідеї з Архімедових напівправильних замощень сфери.
Цей симулятор будує п'ять Архімедових тіл наживо, зрізаючи кути Платонового тіла загальним алгоритмом зрізання вершин, написаним спеціально для цієї сторінки — без жорстко закодованих таблиць координат. Кожна зрізана вершина замінюється невеликим багатокутником, а кожна початкова грань відповідно зменшується, утворюючи ту саму комбінаторну структуру (кількість вершин/ребер/граней), що й справжні Архімедові тіла.
Зрізання вершин, застосоване до тетраедра, куба та октаедра. При коефіцієнті зрізання 50% протилежні зрізи зустрічаються в серединах ребер, утворюючи "ректифікований" кубооктаедр та ікосододекаедр; при меншому коефіцієнті окремі кутові багатокутники та зменшені початкові грані утворюють зрізані форми.
Оберіть тіло у випадному списку. Увімкніть Автообертання та задайте його Швидкість, або перетягніть, щоб обертати вручну. Перемкніть Заповнені грані та Каркасні ребра. Панель Статистика показує V, E, F наживо та підтверджує формулу Ейлера V − E + F = 2 для кожного тіла, оскільки всі вони залишаються опуклими.
Зрізаний октаедр — єдине Архімедове тіло, що самостійно замощує тривимірний простір без прогалин — факт, що має відношення до геометрії піни та клітинного пакування (гіпотеза Кельвіна про мінімальні площі поверхонь клітин, що заповнюють простір).
Архімедове тіло опукле, має лише правильні багатокутники як грані (двох або більше типів) і виглядає ідентично з кожної вершини — та сама циклічна послідовність багатокутників оточує кожен кут. Існує рівно 13 таких тіл, а також дві нескінченні родини призм і антипризм, які зазвичай класифікують окремо.
Зрізання відсікає кожен кут многогранника невеликою площиною, замінюючи вершину новим багатокутником, кількість сторін якого дорівнює кількості ребер, що сходяться в ній. Кожна початкова грань зберігається, але з відрізаними кутами, фактично подвоюючи кількість її сторін, якщо тільки зріз не доходить аж до середин ребер.
Точні Архімедові тіла вимагають конкретного коефіцієнта зрізання, щоб кожна грань була ідеально правильним багатокутником. Цей симулятор використовує один фіксований, спрощений коефіцієнт для наочності процесу побудови, тож грані близькі до правильних, але не математично точні — топологія (V, E, F та суміжність) при цьому повністю коректна.
Обидва є "ректифікованими" тілами, утвореними точним зрізанням до середини кожного ребра. Кубооктаедр ректифікує куб (або еквівалентно октаедр, його подвійне тіло), утворюючи 8 трикутників і 6 квадратів. Ікосододекаедр ректифікує ікосаедр (або додекаедр), утворюючи 20 трикутників і 12 п'ятикутників.
Так. Кожне Архімедове тіло опукле, тож V − E + F = 2 виконується завжди, точно так само, як і для простіших Платонових тіл. Цей симулятор перераховує V, E і F зі згенерованої сітки при кожній зміні тіла та показує живу перевірку.