💨 FHP Lattice Gas Automaton

Automat gazu sieciowego (LGA) zastępuje ciągłe pozycje i prędkości cząstek boolowskimi liczbami obsadzenia na ustalonej sieci: każdy węzeł może pomieścić co najwyżej jedną cząstkę na dozwolony kierunek. W przeciwieństwie do dynamiki molekularnej, która całkuje rzeczywiste siły i trajektorie, LGA ewoluuje przez dwa dyskretne kroki lokalne — kolizję i propagację — stosowane jednocześnie do każdego węzła. Jest dramatycznie tańszy obliczeniowo, a mimo to, co niezwykłe, wciąż odtwarza równania Naviera-Stokesa w granicy makroskopowej.

Wcześniejszy gaz sieciowy na siatce kwadratowej (HPP) zachowuje masę i pęd, ale ma tylko 4-krotną symetrię obrotową, co przecieka do równań makroskopowych jako niefizyczna zależność ciśnienia i lepkości od kierunku. Sieć heksagonalna ma 6-krotną symetrię — minimum potrzebne, by tensor lepkości czwartego rzędu stał się izotropowy. Frisch, Hasslacher i Pomeau pokazali w 1986 roku, że ta pojedyncza zmiana geometryczna odtwarza poprawne, niezależne od kierunku zachowanie Naviera-Stokesa.

Propagacja (streaming) przesuwa każdą cząstkę o jeden krok sieciowy w kierunku jej ruchu. Kolizja to czysto lokalny lookup: dwie cząstki zderzające się czołowo (180° od siebie) rozpraszają się na jedną z dwóch prostopadłych par kierunków, wybraną losowo; trzy cząstki oddalone o 120° obracają się razem o 60°; każda inna konfiguracja przechodzi bez zmian. Obie reguły jedynie przemianowują, które kierunki są zajęte w węźle, więc całkowita liczba cząstek i pęd nigdy się tam nie zmieniają.

Zachowanie masy jest automatyczne, ponieważ kolizje nigdy nie tworzą ani nie niszczą zajętych kierunków, tylko je przypisują na nowo. Zachowanie pędu wynika z symetrii: para czołowa ma zerowy pęd netto, a obie prostopadłe pary wyjściowe też mają zerowy pęd netto, więc zamiana jest neutralna pędowo; obrót trzech cząstek mapuje jedną symetryczną trójkę o zerowym pędzie na inną.

Obsadzenie pojedynczego węzła to zasadniczo szum. Uśrednianie po bloku wielu węzłów, sumowanie każdego zajętego kierunku jako wektora jednostkowego i dzielenie przez liczbę węzłów, daje lokalną średnią prędkość, która zmienia się gładko w przestrzeni i czasie — dokładnie procedura, jaką mechanika statystyczna wykorzystuje, by przejść od stanów mikroskopowych do pól makroskopowych.

Obszar stały wykorzystuje granice odbijające wstecznie: każda cząstka wchodząca do węzła stałego ma odwrócony kierunek, więc wynurza się tą samą drogą, którą przybyła. Cząstki gromadzą się przed przeszkodą i rozrzedzają za nią; w uśrednionym polu prędkości daje to punkt stagnacji z przodu, oddzielone warstwy ścinające oraz, przy wyższych prędkościach wlotowych, naprzemienne wiry odrywające się z tyłu — sieciowy odpowiednik alei wirowej von Kármána.

Model nosi imiona Uriela Frischa, Brosla Hasslachera i Yves'a Pomeau, którzy opublikowali go w 1986 roku, po tym jak wcześniejszy poprzednik na siatce kwadratowej (HPP) okazał się zawodzić w izotropowej hydrodynamice. FHP był pierwszym automatem komórkowym, o którym udowodniono, że odtwarza równania Naviera-Stokesa, i bezpośrednio zainspirował metodę Boltzmanna sieciowego, obecnie standardowe narzędzie w obliczeniowej mechanice płynów.

Każdy węzeł mieści zaledwie garstkę boolowskich cząstek, więc pojedyncze przebiegi są niezwykle zaszumione; odzyskanie czystego pola prędkości wymaga uśredniania po wielu węzłach lub przebiegach. Model jest ograniczony do niskich liczb Macha, ma lepkość efektywną zależną od prędkości, a dyskretne wykluczanie ogranicza osiągalną gęstość. Te problemy zmotywowały metody Boltzmanna sieciowego, które w dużej mierze zastąpiły FHP w praktycznym CFD.

Wykluczanie oznacza, że każdy węzeł może pomieścić co najwyżej jedną cząstkę na kierunek, maksymalnie sześć w sumie, wszystkie poruszające się z tą samą prędkością jednostkową. To uproszczenie modelowe, a nie fizyczny wymóg prawdziwych gazów — utrzymuje stan każdego węzła jako małą liczbę boolowską i sprawia, że automat jest dokładnie odwracalny i łatwy do aktualizacji równolegle.

Górna i dolna krawędź zawijają się okresowo, unikając sztucznych ścian, które zakłócałyby przepływ. Lewa krawędź działa jak wlot, gdzie nowe cząstki są nieustannie wstrzykiwane w kierunkach do przodu z szybkością ustaloną suwakiem gęstości, a prawa krawędź to otwarty wylot — cząstki, które ją mijają, po prostu opuszczają domenę, naśladując tunel aerodynamiczny ze stałym przepływem.